반응형 @ 필수과목159 [손으로 푸는 통계 ver1.0] 74. 표본분산의 분포 유도 (39) 카이제곱분포의 적률생성함수 카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다. 카이제곱분포는 아래와 같습니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ 적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다. $M_{X}(t)=\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Ga.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 [통계 기초] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 표본분산의 분포를 유도하기 위해 카이제곱분포를 지난시간까지 유도했습니다. 표본분산의 분포가 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. 카이제곱분포를 아주 여러 강의에 걸쳐 유도했기 때문에 유도 과정을 요약할 필요가 있을 것 같습니다. 오늘은 카이제곱분포 유도 과정을 요약해보갰습니다. 먼저 누적분포함수의 정의를 이용하여 1자유도 카이제곱분포를 유도했습니다. (38강) $f_{1}(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{1}}{2}}x_{1}^{-\frac{1}{2}}$ 컨볼루션 적분을 이용하여 2~5자유도 카이제곱분포를 유도했지만 규칙을 찾을수는 없었습니다. 컨볼루션적분을 이용한 점화식은 찾아냈습니다. .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 72. 표본분산의 분포 유도 (37) 카이제곱분포 완성 우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요. 카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!} e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$ $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \left \{ \left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \left ( \frac{n}{2}-2 \right .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 71. 표본분산의 분포 유도 (36) 감마함수 관련 다루지 못한 내용들 우리는 지난시간까지 감마함수를 유도하고 양의 실수 영역에서 수렴함을 보였습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 몇가지 더 다루고 싶었지만 시간 관계상 다루지 못한 내용을 언급만 하고 넘어가려고 합니다. 본 강의의 개정버전에서는 다룰 예정이라 기억용으로 언급하는 것입니다. 1) 감마함수의 무한곱형과 적분형의 동치관계입니다. 함수의 모양은 다르지만 한 함수로 다른 함수를 유도할 수 있는 관계입니다. 2) 감마함수의 복소수 영역에서의 수렴성입니다. 0을 포함한 음의 정수를 제외한 복소수 영역에서 감마함수가 수렴합니다. 두가지 내용은 기억해 두었다가 개정버전에서 다루도록 하겠습니다. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다. $(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 이 함수가 바로 감마함수입니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약 감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다. 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 0 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명 감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 .. 2021. 9. 18. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴.. 2021. 9. 18. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 65. 표본분산의 분포 유도 (30) 감마함수 수렴성 증명 #1 우리가 유도한 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ z는 0과 음의정수를 제외한 복소수 영역에서 수렴하는데요. 본 강의에서는 0보다 큰 실수 영역에서만 감마함수를 사용할 것이기 때문에 해당 영역에서만 수렴성을 보이겠습니다. 증명하는 절차가 복잡하기 때문에 먼저 전체요약을 먼저 하고 각 단계를 상세히 설명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 \leq e^{-t}t^{n-1} \leq e^{-\frac{1}.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 64. 표본분산의 분포 유도 (29) 감마 1/2 계산하기 감마함수 적분형을 이용하여 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 $\frac{1}{2}!$이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다. 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ $\Gamma (\frac{1}{2})$ 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다. $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$ t를 $x^{2}$으로 치환합시다. $\begin{align} t&=x^{2}\\ dt&=2xdx \end{align}$.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 63. 표본분산의 분포 유도 (28) 감마함수 적분형의 재귀적 성질 우리는 감마함수 무한곱형과 감마함수 적분형을 둘 다 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$ $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 두 함수는 완전히 동일하다고 합니다. 감마함수 적분형을 이용하여 무한곱형을 유도할 수 있고, 반대도 가능합니다. 이를 동치관계라고 하는데, 동치관계인 것을 보이지는 않겠습니다. 어렵고 길 것 같아 패스합니다. 감마함수 무한곱형에서 제귀적 성질이 성립한다는 것도 보였습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 62. 표본분산의 분포 유도 (27) 감마함수 적분형 유도 지난시간에 배운 내용을 잠깐 리뷰해봅시다. 오일러는 $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 라는 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분식을 지난시간에 아래와 같이 변형했습니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 팩토리얼과 적분을 연결한 식이 유도되었습니다. 오일러는 위 수식을 변형해서 감마함수 적분형을 유도합니다. 유도해보겠습니다. 먼저 $e$ 를 $\frac{f}{g}$ 로 치환합시다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= .. 2021. 7. 10. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 61. 표본분산의 분포 유도 (26) 팩토리얼과 적분의 연결 우리는 지난시간에 이분의일 팩토리얼이 루트 파이임을 증명했습니다. $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 오일러는 이 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분은 당시에 이미 알려져 있는 수식이었습니다. 왈리스, 뉴튼, 스털링이 이미 이 적분의 특수형을 다뤘었다고 합니다. 위 적분을 변형해서 팩토리얼이 포함된 식으로 바꿔보겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left [ \frac{1}{e+1}x^{e+1}(1-x)^{n} \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 60. 표본분산의 분포 유도 (25) 이분의일 팩토리얼이 이분의 루트 파이임을 증명 지난 시간에 우리는 왈리스공식을 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )= \left ( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right ) \left ( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right ) \left ( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right ) \left ( \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right ) \cdots $ 이번 시간에는 왈리스공식과 오일러 무한곱을 이용하여 $\frac.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 59. 표본분산의 분포 유도 (24) 왈리스 공식 유도3 (Wallis product) 지난 시간까지 유도한 재료들은 아래와 같습니다. $I(n)= \frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$ $\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= \frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$ $I(0)= \int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx =\int_{0}^{\pi}1dx =x \vert_0^\pi =\pi$ $I(1)= \int_{0}^{\pi}\sin x \ dx =-\cos x \vert_0^\pi =2$ $I(2n)= \pi \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \quad ......(3)$ $I(2n+1)=2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} \quad ......(4)$ 계속해서 왈리스공식을 유도해봅.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 58. 표본분산의 분포 유도 (23) 왈리스 공식 유도2 (Wallis product) 지난시간에 유도한 1번식, 2번식, 기본적인 함수값은 아래와 같습니다. $I(n)= \frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$ $\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= \frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$ $I(0)= \int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx =\int_{0}^{\pi}1dx =x \vert_0^\pi =\pi$ $I(1)= \int_{0}^{\pi}\sin x \ dx =-\cos x \vert_0^\pi =2$ $I(2n)$ 을 계산합시다. 위에서 유도한 1번 식에 2n을 대입합니다. $I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)$ $2n-2$는 다시 아래와 같이 변형됩니다. 1번식을 이용하면 됩니다. $I(2n)= .. 2021. 6. 12. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 57. 표본분산의 분포 유도 (22) 왈리스 공식 유도1 (Wallis product) $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 와 같음을 유도할 때 사용될 왈리스 공식은 아래와 같습니다. $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )= \left ( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right ) \left ( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right ) \left ( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right ) \left ( \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right ) \cdots.. 2021. 5. 11. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 56. 표본분산의 분포 유도 (21) 감마함수 '적분형'의 발견 우리는 지금까지 감마함수의 무한곱형을 유도하고, 정의역과 성질을 알아봤습니다. 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오일러는 여기서 멈추지 않고 감마함수의 다른 형태를 발견하게 됩니다. 감마함수의 '적분형'입니다. 오늘날 감마함수라고 하면 감마함수 적분형을 의미합니다. 감마함수의 적분형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx$$ 오일러는 어떻게 감마함수 적분형을 발견하게 되었을까요? 문헌에 따르면 오일러는 $.. 2021. 5. 11. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 55. 표본분산의 분포 유도 (20) 감마함수 무한곱형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 무한곱형을 유도했습니다. 유도 결과는 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 49~52강에 걸쳐 유도했는데요. 오늘은 그 과정을 간단히 요약해봅시다. 유도과정 요약 오일러는 아래 극한값을 발견합니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ .. 2021. 5. 10. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 54. 표본분산의 분포 유도 (19) 감마함수 무한곱형의 재귀적 성질 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오늘은 감마함수의 성질중에서 재귀적 성질(Recurrence relation)을 유도해보도록 하겠습니다. 재귀적 성질은 아래와 같습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ 팩토리얼 함수 $f(n)=(n-1)!$에서 성립하던 성질인데요. 정의역을 실수로 확장한 뒤에도 이 성질이 성립합니다. 증명 아래 등식에서 출발합시다. $\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\inft.. 2021. 4. 23. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 53. 표본분산의 분포 유도 (18) 감마함수 무한곱형의 정의역 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}$$ 오늘은 감마함수의 정의역을 알아봅시다. x에 0을 넣어봅시다. $\Gamma (0)=\frac{1}{0}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{0}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{0}$ 1/0이므로 정의되지 않습니다. x에 -1을 넣어봅시다. $\Gamma (-1)=\frac{1}{-1}\prod_{m=1}^{\i.. 2021. 4. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 52. 표본분산의 분포 유도 (17) 팩토리얼 함수의 정의역 확장 우리는 49,50강에서 n!를 아래와 같은 형태로 변형했습니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이 함수를 감마함수로 바꾸기 전에 한가지 변형을 더 해야합니다. 감마함수는 팩토리얼함수인 (n-1)!을 확장한 것이어서, 위 함수도 (n-1)!로 변형해야 합니다. 아래와 같이 변형합니다. $$ n(n-1)!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 양변을 n으로 나눠줍니다. $$(n-1)!=\fr.. 2021. 4. 21. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 51. 표본분산의 분포 유도 (16) 정의역의 확장 아래 보이시는 감마함수 무한곱형에서 자연수 n을 실수 x로 확장하기 직전입니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이를 정의역 확장이라고 하는데요. 매끄러운 이해를 위해, 우리가 이미 경험한 정의역 확장을 하나 예로 들려고 합니다. 아래 등식이 성립한다는 것은 고등학교 수학에서 배우는 내용입니다. $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 자연수의 합, 혹은 등차수열의 합 정도로 이해하고 넘어가는데요. 이 수식에는 엄청난 수학적 발견의 실마리가 숨겨져 있습니다. 좌변에서는 결코 할 수 없는 일을 우변에서는 할 수 있는데요.. 2021. 3. 2. [손으로 푸는 통계 ver2.0] 프롤로그 #3. t검정을 이해하기 위한 목차 만들기 지난 글에서 t검정을 '진짜'이해한다는게 무엇인지 말씀드렸습니다. t검정 이라는 산을 정복하기 위해서는 정상에 도달 할 수 있는 '경로'를 정해야합니다. 이 경로는 책 혹은 강의의 목차를 의미합니다. 지금부터 앞으로 이어질 강의의 목차를 만들어봅시다. 마지막 단원은 t검정입니다. 마지막 단원의 번호를 X라고 놓겠습니다. X부터 하나씩 빼며 목차를 만들고, 마지막에 첫번째 강의를 1로 만드는 X를 대입하면 됩니다. X단원. t검정 t검정을 하기 위해서는 t분포를 유도해야합니다. X단원. t검정 X-1단원. t분포 유도 t분포를 유도하려면 카이제곱분포와 정규분포를 먼저 유도해야합니다. X단원. t검정 X-1단원. t분포 유도 X-2단원. 카이제곱분포 유도 X-3단원. 정규분포 유도 정규분포를 유도한 뒤에 Z.. 2021. 1. 20. [손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (7) 누적분포함수 지수분포는 주로 누적분포함수의 형태로 사용됩니다. 누적분포함수는 영어로 Cumulative distribution function 인데 줄여서 CDF라고 부릅니다. 누적분포함수는 확률밀도함수를 적분하여 구하는데, 지수분포는 그럴 필요가 없습니다. 지수분포의 누적분포함수를 이미 유도했기 때문입니다. 우리는 지수분포의 누적분포함수를 먼저 유도하고, 누적분포함수를 미분하여 확률밀도함수를 구했습니다. 지수분포를 유도할 때, 단위시간 동안 사건이 발생하는 평균 횟수를 λ 로 놓았고. 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T 이하일 확률을 먼저 유도했습니다. 그러고 나서 $f(t)$ 를 구했죠. $$P\left ( 0\leq t\leq T \right )=1-e^{-\lambda T}=\int_{0}^{T}f.. 2021. 1. 18. [손으로 푸는 통계 ver2.0] 프롤로그 #2. t검정을 '진짜' 이해한다는 것 t검정을 이해하고 싶었습니다. 저는 비전공자 직장인이고, 지난 글에서 t검정을 이해하기 위해 『손으로 푸는 통계』 라는 강의를 시작했다고 말씀드렸습니다. 우리가 오르려는 산 정상에는 t검정이 있고, 정상까지 어떻게 올라갈지 그 루트(route)를 정하기 전에 먼저 t검정을 이해한다는게 무엇인지 이야기해보려고 합니다. 수학적으로 정의된 어떤 대상을 이해하는데는 세가지 단계가 있습니다. (제가 수학/공학/통계학 등을 공부하며 알게된 것이고 사람마다 의견이 다를 수 있습니다.) 1단계) 사용할 줄 아는것 2단계) 원리를 아는 것 3단계) 유도할 줄 아는 것 t검정으로 예를 들어봅시다. t검정을 1단계 수준으로 이해한다는 것은 엑셀,SPSS,R을 이용해서 t검정을 수행하여 p값을 구할 줄 아는 것입니다. 구해진.. 2021. 1. 16. [손으로 푸는 통계 ver2.0] 프롤로그 #1. 비전공자가 통계공부를 시작한 이유 안녕하세요. 저는 통계전공자는 아니고 공대를 졸업한 직장인입니다. 공대 석사 졸업 후에 취업을 했는데 가는 회사마다 통계를 다룰 일이 있었습니다. 통계가 주 업무로 맡겨진 것은 아니었지만 데이터가 있는 곳에는 항상 통계가 있었습니다. 실험 결과를 비교할 때도 t검정을 통해 p값을 구해야 했습니다. t검정으로 p값을 구하는데 익숙해질 즈음 엑셀,R,SPSS 와 같은 도구를 이용하여 기계적으로 값만 구해내는 것에 대해서도 불편함이 느껴지기 시작했습니다. 마치 중고등학교 시절 증명을 안한 공식을 외워서 사용하는 느낌이었습니다. 중고등학교 시절에도 공식을 외워서 사용하는건 아무 의미 없는 행동이라는 것을 느끼고 '증명이 떠오르지 않는 공식은 사용하지 않는다'라는 규칙을 세웠던 기억이 납니다. 이런 이유로 t검정.. 2021. 1. 9. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 50. 표본분산의 분포 유도 (15) 오일러 극한값의 변형 오일러가 발견한 극한값을 오늘날의 감마함수가 되기 직전의 형태로 변형해봅시다. 오일러가 발견한 극한값은 아래와 같습니다. 지난시간에는 이 수식을 증명했고, 오늘은 이 수식을 변형할 것입니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots $$ 극한을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. $$ n!=\lim_{m\rightarrow \infty } \left [ .. 2020. 12. 21. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 49. 표본분산의 분포 유도 (14) 오일러가 발견한 극한값 우리는 팩토리얼함수인 f(n)=(n-1)! 을 실수영역으로 확장하려는 시도를 하고 있습니다. 이를 위해 아래 조건을 만족하는 함수를 찾아야 합니다. 1) n이 자연수 일 때, f(n)=(n-1)! 2) f(n)=(n-1)! 로 찍은 점을 부드럽게 연결 이제 이 함수를 찾아봅시다. 함수를 찾는 과정은 그닥 매끄럽지 않습니다. 매끄럽지 않은 이유는, 과정에서 '하늘에서 떨어진'듯한 수식들이 등장하는데, 그 수식들의 발견과정을 알 수 없기 때문입니다. 발견과정을 알 수 없는 이유는 기록이 없기 때문입니다. 만약 사후세계가 있고 오일러를 만날 수 있다면 그제야 알 수 있을겁니다. 유도 과정이 간단하면 논리적인 인과관계를 갖도록 재구성을 해볼텐데, 아쉽게도 아직 그럴 능력이 없습니다. 최대한 간극을 매워보도록 합.. 2020. 12. 15. 이전 1 2 3 4 5 6 다음 반응형
