[손으로 푸는 통계 ver1.0] 52. 표본분산의 분포 유도 (17) 팩토리얼 함수의 정의역 확장

 

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우리는 49,50강에서 n!를 아래와 같은 형태로 변형했습니다. 

$$ 
n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ 
$$

이 함수를 감마함수로 바꾸기 전에 한가지 변형을 더 해야합니다. 감마함수는 팩토리얼함수인 (n-1)!을 확장한 것이어서, 위 함수도 (n-1)!로 변형해야 합니다. 

아래와 같이 변형합니다. 

$$ 
n(n-1)!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ 
$$

양변을 n으로 나눠줍니다. 

$$(n-1)!=\frac{1}{n}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 

이제 좌변이 팩토리얼 함수가 되었습니다. 

$$f(n)=(n-1)!=\frac{1}{n}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$

팩토리얼 함수의 n자리에 자연수가 아닌 다른 수를 넣는 것을 불가능했습니다. 팩토리얼 자체가 정의되지 않기 때문입니다. 반면 오일러가 발견한 함수에는 자연수가 아닌 다른 수를 넣어도 값을 구할 수가 있습니다. 그렇다면 그냥 n을 x로 바꾸는게 가능할까요? 

 

네 가능 합니다. 지난시간에 정의역의 확장을 배웠는데, 같은 원리가 적용된 것입니다. 자연수 n 대신 실수 x를 넣어봅시다. 

 

$$f(x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}\ $$

 

우리는 이렇게 감마함수를 유도했습니다. 위 함수를 감마함수의 무한곱형이라고 합니다. 굳이 무한곱형이라는 말을 붙이는 이유는 감마함수에는 무한곱형 말고도 다른 형태가 있기 때문입니다. 형태만 다르지 같은 함수입니다. 감마함수는 그리스어 감마의 대문자를 사용하여 아래와 같이 나타냅니다. 

 

$$\Gamma (x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}$$

 

이제 우리가 유도한 감마 함수의 상태를 확인해야 합니다. 팩토리얼함수의 점들을 부드럽게 연결한 곡선을 찾는게 목적이니까 정말 그런지 확인하는 것입니다. 적어도 양의 실수 영역에서는 발산하지 않고 모든 x에서 함수값이 수렴하는지도 확인해야합니다. 

 

함수가 부드럽게 연결되어 있는지, 모든 양의 실수에서 수렴하는지를 확인하는 것은 난이도가 너무 높아 현재 제 실력으로는 너무 오래 걸릴 것 같습니다. 강의를 언제까지 멈추고 있을 수는 없으니, 일단 그렇다고 가정하고 진행하겠습니다. 이 내용은 추후 보완하겠습니다. 

 

다음시간에는 감마함수의 정의역을 구해봅시다.