[손으로 푸는 통계 ver1.0] 56. 표본분산의 분포 유도 (21) 감마함수 '적분형'의 발견

 

 

우리는 지금까지 감마함수의 무한곱형을 유도하고, 정의역과 성질을 알아봤습니다. 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다.

 

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$

 

오일러는 여기서 멈추지 않고 감마함수의 다른 형태를 발견하게 됩니다. 감마함수의 '적분형'입니다. 오늘날 감마함수라고 하면 감마함수 적분형을 의미합니다. 감마함수의 적분형은 아래와 같습니다. 

 

$$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx$$

 

오일러는 어떻게 감마함수 적분형을 발견하게 되었을까요? 문헌에 따르면 오일러는 $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$  가 나오는 것을 보고, 원을 떠올렸고, 원의 넓이 구의 넓이와 부피 등의 생각으로 이어지며 '감마함수가 적분과 연관되어 있을 것이다' 라는 생각을 하게 되었다고 합니다. 

 

앞으로 오일러함수의 적분형을 유도하게 될텐데요. 그 전에 재미삼아  $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 라는 것을 먼저 유도해봅시다. 오일러는 왈리스 공식(Wallis product) 을 이용하여 유도합니다. 왈리스공식은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )=
\left ( \frac{2}{1} \cdot  \frac{2}{3}\right )
\left ( \frac{4}{3} \cdot  \frac{4}{5}\right )
\left ( \frac{6}{5} \cdot  \frac{6}{7}\right )
\left ( \frac{8}{7} \cdot  \frac{8}{9}\right )
\cdots $

 

다음강의에서 왈리스공식을 유도하고 그 다음 강의에서  $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 라는 것을 유도해보도록 하겠습니다. 

 

 

 

<참고문헌>

Davis, P. J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function". American Mathematical Monthly