반응형 카이제곱분포19 카이제곱분포 글 하나로 끝내버리기 1. 어디에 사용되나? 1) 카이제곱분포는 t분포 유도에 사용됩니다. t분포 유도에는 확률변수 $\frac{ns^2}{\sigma^2}$ 가 사용되는데, 이 확률변수가 n자유도 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. $s^2$은 표본분산, $\sigma^2$은 모분산입니다. 2) 카이제곱검정에 사용됩니다. 2. 어떻게 생겼나요? 카이제곱분포도 t분포처럼 '자유도'에 따라 모양이 결정됩니다. t분포에서 자유도는 표본크기에서 1을 뺀 값이었는데요. 카이제곱분포 자유도의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. k자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left ( \frac{k}{2} \right ) }x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}.. 2023. 1. 14. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 86. R로 카이제곱분포 그래프 그려보기 지난시간까지 미분을 이용하여 카이제곱분포의 그래프 형태를 예측해보았습니다. 우리가 예측한 1,2,3 자유도 카이제곱분포 그래프는 아래와 같습니다. 4자유도 카이제곱분포 그래프는 아래와 같습니다. 5자유도 이상인 카이제곱분포 그래프는 아래와 같습니다. 2자유도의 c를 구해봅시다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ 위 식 계수에 2를 넣으면 되구요. 감마 1은 1이니까. 0.5가 나옵니다. R을 이용하여 우리가 예측한 그래프 형태가 맞는지 알아봅시다. R의 dchisq 라는 함수를 이용하면 카이제곱분포의 함수 값을 알 수 있습니다. 코드는 아래와 같습니다... 2022. 3. 25. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 85. 카이제곱분포 형태 예측 (자유도 4자유도 이상 ) 지난시간에 1,2,3 자유도 카이제곱분포의 개형을 예측했습니다. 우리가 예측한 형태는 아래와 같습니다. 왼쪽부터 1,2,3 자유도 입니다. 오늘은 4자유도 이상의 카이제곱분포의 개형을 예측해봅시다. n자유도 카이제곱분포의 분포함수 $f(x)$와 도함수 $f'(x)$는 아래와 같습니다. $f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}$ $f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}\left(x-(n-2) \right)$ n=4 n이 4인 경우의 $f(x)$와 $f'(x)$ 는 아래와 같습니다. $f(x)=c\cdot \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$ $f'(x)=-\fr.. 2022. 3. 23. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 82. 카이제곱분포의 평균 쉬운 유도 지난 시간에 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수 X의 평균이 n 이라는 것을 유도했습니다. 오늘은 카이제곱분포의 평균을 더 쉽게 유도해봅시다. 아래 식에서 출발합니다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 좌변은 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 기댓값을 구해봅시다. $E\left [ \frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \right ]$ 괄호와 무관한 문자들은 밖으로 꺼냅시다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}E\left [ s^{2} \right ]$ 표본분산의 평균은 모분산입니다. 4강에서 유도했습니다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}\sigma^{2}$ 약분하면 n-1만 남습니다. n-1자유.. 2022. 3. 7. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 81. 카이제곱분포의 평균 유도 우리는 아래 수식을 유도했습니다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 표본분산에 상수가 곱해진 확률변수가 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따른다는 의미입니다. n-1 자유도의 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma \left ( \frac{n-1}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n-1}{2}-1}$ 오늘은 카이제곱분포의 평균을 유도해보겠습니다. 유도해놓으면 분명 뒤에서 써먹을 일이 있을것 같아요. 수식을 편하게 다루기 위해 n자유도의 카이제곱분포에서 평균을 유도하겠습니다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \l.. 2022. 3. 5. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 80. aX가 카이제곱분포를 따를 때, X도 그럴까 정규 분포에서는 아래 성질이 성립했습니다. 변수 aX가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따를 경우, 확률변수 X는 평균이 $\frac{\mu}{a}$이고, 표준편차가 $\left| \frac{\sigma}{a} \right| $인 정규분포를 따릅니다. 카이제곱분포에서는 어떨까요? 변수 aX가 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $aX \sim \chi^{2}_{n-1}$ aX의 확률밀도함수를 f(ax), 누적분포함수를 F(ax)라고 놓겠습니다. F(ax) 는 아래와 같이 정의됩니다. $P\left[ aX \leq ax \right]$ 우리가 궁금한 것은 X의 분포입니다. X의 확률밀도함수를 g(x), 누적분포함수를 G(x).. 2021. 12. 17. [카이제곱분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 카이제곱분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 표준정규분포를 따르는 확률변수들의 제곱합을 확률변수로 하는 분포 정의역 $\left\{\begin{matrix} 0 2021. 11. 8. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 78. 표본분산이 정말 카이제곱분포 따르는거 맞아? 우리는 아래와 같이 좌변이 n-1 자유도 카이제곱분포를 따른다는 것을 유도했습니다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 그러고는 "표본분산이 카이제곱분포를 따른다"고 이야기했습니다. 어딘가 이상합니다. 좌변은 표본분산이 아니라 표본분산에 무언가 곱해진 변수입니다. 마치 3X가 정규분포를 따르는 것을 보고, X가 정규분포를 따른다고 하는 것과 같습니다. 일반화하면 아래 문제가 됩니다. "aX가 정규분포를 다를 때, X도 정규분포를 따를까?" 위 문제를 해결하고 나서 아래 문제를 해결하면 우리 의문은 해결됩니다. "aX가 카이제곱분포를 다를 때, X도 카이제곱분포를 따를까" 이어지는 강의에서 해결해봅시다. 2021. 9. 29. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 75. 표본분산의 분포 유도 (40) 표본분산의 분포 유도 완성 및 오류 수정 우리는 n자유도 카이제곱분포와 적률생성함수를 유도한 상태입니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ $M_{X}(t)= \left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}} \quad \left ( t 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 74. 표본분산의 분포 유도 (39) 카이제곱분포의 적률생성함수 카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다. 카이제곱분포는 아래와 같습니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ 적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다. $M_{X}(t)=\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Ga.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 [통계 기초] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 표본분산의 분포를 유도하기 위해 카이제곱분포를 지난시간까지 유도했습니다. 표본분산의 분포가 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. 카이제곱분포를 아주 여러 강의에 걸쳐 유도했기 때문에 유도 과정을 요약할 필요가 있을 것 같습니다. 오늘은 카이제곱분포 유도 과정을 요약해보갰습니다. 먼저 누적분포함수의 정의를 이용하여 1자유도 카이제곱분포를 유도했습니다. (38강) $f_{1}(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{1}}{2}}x_{1}^{-\frac{1}{2}}$ 컨볼루션 적분을 이용하여 2~5자유도 카이제곱분포를 유도했지만 규칙을 찾을수는 없었습니다. 컨볼루션적분을 이용한 점화식은 찾아냈습니다. .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 72. 표본분산의 분포 유도 (37) 카이제곱분포 완성 우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요. 카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!} e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$ $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \left \{ \left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \left ( \frac{n}{2}-2 \right .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 45. 표본분산의 분포 유도 (10) 카이제곱분포 점화식 풀이 지난시간까지 유도해본 n자유도 카이제곱분포의 분포함수는 아래와 같습니다. 문제는 상수 $C_{n}$ 이었는데요. 규칙이 보이지 않았습니다. 점화식 형태로도 표현한 결과는 아래와 같습니다. ... 이번에는 우리가 유도한 분포함수를 점화식에 대입해보았습니다. 아래와 같이 소거합시다. 적분과 상관없는 항은 밖으로 꺼내겠습니다. 적분합시다. 정리하면 아래와 같습니다. 자유도가 n인 카이제곱분포의 상수 $C_{n}$ 은 아래와 같이 표현됩니다. 우리가 풀 수 있는 형태의 점화식이 되었습니다. 점화식을 풀어보겠습니다. n 이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나뉩니다. 1) n이 홀수인 경우 ... double factorial 이라는 기호가 있습니다. !! 인데요. factorial은 1씩 빼서 곱하는 반면, doub.. 2020. 6. 30. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 44. 표본분산의 분포 유도 (9) 1~5자유도 카이제곱분포에서 규칙찾기, 점화식 세우기 이제 1,2,3,4,5 자유도 카이제곱 분포를 살펴보면서 규칙을 찾아봅시다. 지수함수와 멱함수에서는 규칙이 보입니다. 지수함수는 같은 형태가 유지되고 있고, 멱함수의 지수부분은 1/2 씩 더해지고 있습니다. 이 규칙이 계속 유지될 것이라는 것도 쉽게 보일 수 있습니다. 예를들어 5자유도 분포를 구할 때, 우리는 2자유도와 3자유도를 결합합니다. 지수항수는 항상 같은 형태로 남겨지고, 멱함수는 2자유도 전의 멱함수가 적분됩니다. 따라서 2자유도 증가할 때마다 차수가 1 증가하는 것이므로, 1자유도 증가시 차수가 1/2 증가하게 됩니다. 따라서 n자유도 카이제곱 분포는 아래와 같은 모양일 것으로 생각됩니다. 확률변수를 X로 놓겠습니다. 문제는 상수 $C_{n}$ 입니다. 규칙이 보이지 않았습니다. 점화식 형.. 2020. 6. 30. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 43. 표본분산의 분포 유도 (8) 3,4,5자유도 카이제곱분포 유도 지난시간까지 유도한 1,2 자유도의 카이제곱분포는 아래와 같습니다. 변수는 X에 아래첨자에 자유도가 추가된 형태로 놓겠습니다. 오늘은 3,4,5 자유도의 카이제곱분포를 유도하고 규칙을 찾아보도록 하겠습니다. 먼저 3자유도 카이제곱분포입니다. 3자유도 카이제곱분포 유도 1,2 자유도 카이제곱분포에 컨볼루션 적분을 적용하면 아래와 같은 수식이 됩니다. 분포함수를 대입하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 지수형태의 식을 둘로 분리합시다. $ e^{-\frac{x_{1}}{2}}$ 를 소거합시다. 적분변수와 무관한 항은 밖으로 꺼냅시다. 적분합시다. 계산하면 아래와 같습니다. 4자유도 카이제곱분포 유도 이번에는 4자유도 카이제곱분포를 유도해봅시다. 2자유도 카이제곱분포 함수가 가장 간단하기 때문에 이 함수를 이용.. 2020. 6. 13. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 42. 표본분산의 분포 유도 (7) 2자유도 카이제곱분포 유도 서로 독립인 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수는 0부터 무한대 사이의 정수를 갖는다고 합시다. X가 발생할 확률은 P(X=x), Y가 발생할 확률은 P(Y=y)입니다. X와 Y를 합한 확률변수를 Z라고 놓겠습니다. 표기를 P(X), P(Y)로 하지 않는 이유는 혼동을 피하기 위함입니다. x가 1일 확률과 y가 1일 확률이 다를 수도 있는데 P(1), P(1) 로 똑같이 표기되기 때문입니다. P(X=1), P(Y=1)이라고 표기하면 오해가 생기지 않습니다. Z=X+Y 이때 Z가 발생할 확률은 어떻게 정의할 수 있을까요? Z가 발생하는 모든 X,Y 조합을 찾아봅시다. X 값에는 0부터 올 수 있으므로 아래와 같습니다. (0,z) (1,z-1) (2,z-2) ... (z,0) 각각의 확률은 .. 2020. 5. 16. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 40. 표본분산의 분포 유도 (5) 크기가 2인 표본분산의 분포 표본분산의 분포를 구하기 위해 아래 정의에서 출발했습니다. 위 정의를 이용해서 아래 수식을 유도했습니다. 우변은 자유도가 n-1인 카이제곱 분포를 따르는데요. 우리는 아직 자유도가 1인 카이제곱분포만 유도한 상태입니다. 자유도가 1인 카이제곱분포는 n이 2일 때를 의미합니다. n이 2라는 것은 표본의 크기가 2라는 말입니다. 위 식에서 n에 2를 넣으면 아래와 같은 식이 됩니다. 우변이 자유도가 1인 카이제곱분포입니다. 위 식을 Y라고 놓고 분포함수를 유도했었습니다. 우리가 유도한 Y의 분포함수는 아래와 같습니다. 그래프를 그려봅시다. 손으로 그리기 어렵기 때문에 R을 이용하여 그렸습니다. 0에 가까울 수록 발생확률이 높고, 0보다 커질수록 발생확률이 작아지는 형태의 분포입니다. x=seq(0,4,0.0.. 2020. 5. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 39. 표본분산의 분포 유도 (4) 자유도가 1인 카이제곱분포의 평균과 분산 36~38강에서 표본분산의 분포는 표준정규분포를 따르는 확률변수의 제곱을 n-1개 더한 분포라는 것을 유도했습니다. 표준정규분포의 제곱의 합의 분포를 단계적으로 유도하기 위해 표준정규분포 1개의 제곱의 분포를 유도했습니다. 이는 자유도 1인 카이제곱분포였습니다. 자유도가 1인 카이제곱분포를 표본분산의 분포로 이용하는 방법을 알아보기 전에 자유도가 1인 카이제곱분포의 평균과 분산을 구해보겠습니다. 먼저 평균을 유도해봅시다. 평균 평균은 아래와 같이 정의됩니다. 아래와 같이 계산할 수 있습니다. 부분적분을 합시다. e^(y/2)을 적분할 것입니다. 빨간항은 0이 됩니다. 2를 약분해줍시다. 적분기호 안은 자유도가 1인 카이제곱분포의 확률밀도함수입니다. 전체구간으로 적분하면 값은 1입니다. 따라서 평균은 1이.. 2020. 4. 27. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 38. 표본분산의 분포 유도 (3) 자유도가 1인 카이제곱분포 유도 36강과 37강에서 아래 수식을 유도했습니다. 우변의 각 항은 표준정규분포를 따르는 변수의 제곱입니다. 따라서 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 2020. 4. 4. 이전 1 다음 반응형
