[손으로 푸는 통계 ver1.0] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약

 

[통계 기초] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약

표본분산의 분포를 유도하기 위해 카이제곱분포를 지난시간까지 유도했습니다. 표본분산의 분포가 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. 

 

카이제곱분포를 아주 여러 강의에 걸쳐 유도했기 때문에 유도 과정을 요약할 필요가 있을 것 같습니다. 오늘은 카이제곱분포 유도 과정을 요약해보갰습니다. 

 

먼저 누적분포함수의 정의를 이용하여 1자유도 카이제곱분포를 유도했습니다. (38강)

 

$f_{1}(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{1}}{2}}x_{1}^{-\frac{1}{2}}$

 

컨볼루션 적분을 이용하여 2~5자유도 카이제곱분포를 유도했지만 규칙을 찾을수는 없었습니다. 컨볼루션적분을 이용한 점화식은 찾아냈습니다. 

 

$f_{1}(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{1}}{2}}x_{1}^{-\frac{1}{2}}$

 

$f_{2}(x_{2})=\frac{1}{2}e^{-\frac{x_{2}}{2}}$

 

$f_{n}(x_{n})=\int_{0}^{x_{n}}f_{n-2}(x_{n-2})f_{2}(x_{n}-x_{2})dx_{n-2}$

 

점화식을 풀어서 n이 짝수인 경우와 홀수인 경우의 n자유도 카이제곱 분포를 유도했습니다. (45강)

 

<n이 짝수인 경우>

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{(n-2)!!}\frac{1}{2}e^{-\frac{x_{n}}{2}}x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$

 

<n이 홀수인 경우>

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{(n-2)!!}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{n}}{2}}x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$

 

더블팩토리얼을 변형했습니다. 

 

<n이 짝수인 경우>

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{ 2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!  }e^{-\frac{x_{n}}{2}}x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$

 

<n이 홀수인 경우>

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{ 2^{\frac{n}{2}} 
\left \{ \left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \left ( \frac{n}{2}-2 \right ) 
\cdots \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}
\right \}}
e^{-\frac{x_{n}}{2}}x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$

 

홀수형 분모에 있는 자연수가 아닌 수의 팩토리얼을 계산하기 위해 감마함수를 유도했습니다. 감마함수이용하여 정의된 n자유도 카이제곱분포는 아래와 같습니다. 

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x_{n}}{2}} x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$