[손으로 푸는 통계 ver1.0] 74. 표본분산의 분포 유도 (39) 카이제곱분포의 적률생성함수

 

 

카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다. 

 

카이제곱분포는 아래와 같습니다. 

 

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$

 

적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. 

 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$

 

카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다. 

 

$M_{X}(t)=\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

적분과 무관한 항을 밖으로 꺼냅니다. 

 

$M_{X}(t)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}e^{tx}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

계산이 가능한 항은 계산해줍니다. 

 

$M_{X}(t)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{\left ( t-\frac{1}{2} \right )x}
x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

$\left (t-\frac{1}{2} \right )x$ 을 -r로 치환합니다. 

 

$\left (t-\frac{1}{2} \right )x=-r \\
\left (t-\frac{1}{2} \right )dx=-dr$

 

아래와 같이 치환됩니다. 

 

$M_{X}(t)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r}
\left ( \frac{r}{\frac{1}{2}-t} \right )^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{\frac{1}{2}-t}dr$

 

t가 1/2보다 작다는 조건을 추가하면 적분구간을 그대로 유지할 수 있습니다. 적률생성함수는 t=0 에서 사용하기 때문이 이와 같은 조건을 추가해도 상관없습니다. 

 

계산이 가능한 항은 계산하고, 적분과 무관한 항은 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left (\frac{1}{2}-t  \right )^{-\frac{n}{2}}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r}
r^{\frac{n}{2}-1}dr$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left (\frac{1-2t}{2}  \right )^{-\frac{n}{2}}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r}
r^{\frac{n}{2}-1}dr$

 

아래와 같이 분자와 분모를 분리해줍니다. 

 

$M_{X}(t)=
\frac{\left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}}}{2^{-\frac{n}{2}}} 
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r}
r^{\frac{n}{2}-1}dr$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}}
\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r}
r^{\frac{n}{2}-1}dr$

 

적분항은 감마 1/2입니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}}
\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )$

 

아래와 같이 약분됩니다. n자유도 카이제곱분포의 적률생성함수가 유도되었습니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}} \quad \left ( t<\frac{1}{2} \right )$