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카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다.
카이제곱분포는 아래와 같습니다.
적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다.
카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다.
적분과 무관한 항을 밖으로 꺼냅니다.
계산이 가능한 항은 계산해줍니다.
을 -r로 치환합니다.
아래와 같이 치환됩니다.
t가 1/2보다 작다는 조건을 추가하면 적분구간을 그대로 유지할 수 있습니다. 적률생성함수는 t=0 에서 사용하기 때문이 이와 같은 조건을 추가해도 상관없습니다.
계산이 가능한 항은 계산하고, 적분과 무관한 항은 밖으로 꺼내줍니다.
아래와 같이 변형합니다.
아래와 같이 분자와 분모를 분리해줍니다.
아래와 같이 계산해줍니다.
적분항은 감마 1/2입니다.
아래와 같이 약분됩니다. n자유도 카이제곱분포의 적률생성함수가 유도되었습니다.
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