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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 74. 표본분산의 분포 유도 (39) 카이제곱분포의 적률생성함수

by bigpicture 2021. 9. 22.
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카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다. 

 

카이제곱분포는 아래와 같습니다. 

 

fn(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21fn(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21

 

적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. 

 

MX(t)=etxf(x)dxMX(t)=etxf(x)dx

 

카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다. 

 

MX(t)=0etx12n2Γ(n2)ex2xn21dxMX(t)=0etx12n2Γ(n2)ex2xn21dx

 

적분과 무관한 항을 밖으로 꺼냅니다. 

 

MX(t)=12n2Γ(n2)0etxex2xn21dxMX(t)=12n2Γ(n2)0etxex2xn21dx

 

계산이 가능한 항은 계산해줍니다. 

 

MX(t)=12n2Γ(n2)0e(t12)xxn21dxMX(t)=12n2Γ(n2)0e(t12)xxn21dx

 

(t12)x(t12)x 을 -r로 치환합니다. 

 

(t12)x=r(t12)dx=dr(t12)x=r(t12)dx=dr

 

아래와 같이 치환됩니다. 

 

MX(t)=12n2Γ(n2)0er(r12t)n21112tdrMX(t)=12n2Γ(n2)0er(r12t)n21112tdr

 

t가 1/2보다 작다는 조건을 추가하면 적분구간을 그대로 유지할 수 있습니다. 적률생성함수는 t=0 에서 사용하기 때문이 이와 같은 조건을 추가해도 상관없습니다. 

 

계산이 가능한 항은 계산하고, 적분과 무관한 항은 밖으로 꺼내줍니다. 

 

MX(t)=(12t)n212n2Γ(n2)0errn21drMX(t)=(12t)n212n2Γ(n2)0errn21dr

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

MX(t)=(12t2)n212n2Γ(n2)0errn21drMX(t)=(12t2)n212n2Γ(n2)0errn21dr

 

아래와 같이 분자와 분모를 분리해줍니다. 

 

MX(t)=(12t)n22n212n2Γ(n2)0errn21drMX(t)=(12t)n22n212n2Γ(n2)0errn21dr

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

MX(t)=(12t)n21Γ(n2)0errn21drMX(t)=(12t)n21Γ(n2)0errn21dr

 

적분항은 감마 1/2입니다. 

 

MX(t)=(12t)n21Γ(n2)Γ(n2)MX(t)=(12t)n21Γ(n2)Γ(n2)

 

아래와 같이 약분됩니다. n자유도 카이제곱분포의 적률생성함수가 유도되었습니다. 

 

MX(t)=(12t)n2(t<12)MX(t)=(12t)n2(t<12)

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댓글

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