카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다.
카이제곱분포는 아래와 같습니다.
fn(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1fn(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1
적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다.
MX(t)=∫∞−∞etxf(x)dxMX(t)=∫∞−∞etxf(x)dx
카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다.
MX(t)=∫∞0etx12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dxMX(t)=∫∞0etx12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx
적분과 무관한 항을 밖으로 꺼냅니다.
MX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0etxe−x2xn2−1dxMX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0etxe−x2xn2−1dx
계산이 가능한 항은 계산해줍니다.
MX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0e(t−12)xxn2−1dxMX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0e(t−12)xxn2−1dx
(t−12)x(t−12)x 을 -r로 치환합니다.
(t−12)x=−r(t−12)dx=−dr(t−12)x=−r(t−12)dx=−dr
아래와 같이 치환됩니다.
MX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0e−r(r12−t)n2−1112−tdrMX(t)=12n2Γ(n2)∫∞0e−r(r12−t)n2−1112−tdr
t가 1/2보다 작다는 조건을 추가하면 적분구간을 그대로 유지할 수 있습니다. 적률생성함수는 t=0 에서 사용하기 때문이 이와 같은 조건을 추가해도 상관없습니다.
계산이 가능한 항은 계산하고, 적분과 무관한 항은 밖으로 꺼내줍니다.
MX(t)=(12−t)−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1drMX(t)=(12−t)−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1dr
아래와 같이 변형합니다.
MX(t)=(1−2t2)−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1drMX(t)=(1−2t2)−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1dr
아래와 같이 분자와 분모를 분리해줍니다.
MX(t)=(1−2t)−n22−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1drMX(t)=(1−2t)−n22−n212n2Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1dr
아래와 같이 계산해줍니다.
MX(t)=(1−2t)−n21Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1drMX(t)=(1−2t)−n21Γ(n2)∫∞0e−rrn2−1dr
적분항은 감마 1/2입니다.
MX(t)=(1−2t)−n21Γ(n2)Γ(n2)MX(t)=(1−2t)−n21Γ(n2)Γ(n2)
아래와 같이 약분됩니다. n자유도 카이제곱분포의 적률생성함수가 유도되었습니다.
MX(t)=(1−2t)−n2(t<12)MX(t)=(1−2t)−n2(t<12)
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