[손으로 푸는 통계 ver1.0] 76. 표본분산의 분포 유도과정 요약

 

 

우리는 지난시간까지 표본분산의 분포를 유도했습니다. 크기가 n인 표본분산의 분포는 n-1 자유도 카이제곱분포입니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

오늘은 유도과정을 간단히 요약해봅시다. 

 

표본분산의 정의에서 출발합니다. 

 

$s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i}-\bar{X}  \right )^{2}}{n-1}$

 

아래와 같이 변형했습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2}=
\left (\frac{X_{1}-\mu}{\sigma}  \right )^{2}+
\cdots +
\left (\frac{X_{n}-\mu}{\sigma}  \right )^{2}-
\left (\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}  \right )^{2}$

 

우변은 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수에서 1자유도 카이제곱분포를 뺀 분포입니다. 

 

이어서 카이제곱분포를 유도했습니다. 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 필요해서 감마함수도 유도했습니다. 

 

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

 

$f_{n}(x_{n})=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x_{n}}{2}} x_{n}^{\frac{n}{2}-1}$

 

n자유도 카이제곱분포에서 1자유도 카이제곱분포를 뺀 분포를 구하기 위해 카이제곱분포의 적률생성함수도 유도했습니다. 

 

$M_{X}(t)=
\left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}}$

 

표본분산의 정의를 변형한 식의 양변에 적률생성함수를 취하고, 카이제곱분포 적률생성함수를 이용해서 $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2}$ 가 n-1 자유도 카이제곱분포를 따른다는 것을 유도했습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$