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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 76. 표본분산의 분포 유도과정 요약

by bigpicture 2021. 9. 22.
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우리는 지난시간까지 표본분산의 분포를 유도했습니다. 크기가 n인 표본분산의 분포는 n-1 자유도 카이제곱분포입니다. 

 

n1σ2s2χn12

 

오늘은 유도과정을 간단히 요약해봅시다. 

 

표본분산의 정의에서 출발합니다. 

 

s2=i=1n(XiX¯)2n1

 

아래와 같이 변형했습니다. 

 

n1σ2s2=(X1μσ)2++(Xnμσ)2(X¯μσn)2

 

우변은 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수에서 1자유도 카이제곱분포를 뺀 분포입니다. 

 

이어서 카이제곱분포를 유도했습니다. 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 필요해서 감마함수도 유도했습니다. 

 

Γ(z)=0tz1etdt

 

fn(xn)=12n2Γ(n2)exn2xnn21

 

n자유도 카이제곱분포에서 1자유도 카이제곱분포를 뺀 분포를 구하기 위해 카이제곱분포의 적률생성함수도 유도했습니다. 

 

MX(t)=(12t)n2

 

표본분산의 정의를 변형한 식의 양변에 적률생성함수를 취하고, 카이제곱분포 적률생성함수를 이용해서 n1σ2s2 가 n-1 자유도 카이제곱분포를 따른다는 것을 유도했습니다. 

 

n1σ2s2χn12

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