[손으로 푸는 통계 ver1.0] 77. 표본분산의 분포를 왜 유도했나?

 

 

우리는 표본분산의 분포를 유도했습니다. n-1 카이제곱분포입니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

표본분산의 분포를 유도하기 시작한게 35강입니다. 71강에 완료했으니 37강에 걸쳐 유도한 것입니다. 너무 오랜시간 유도하다 보니 유도 자체가 목적이 되어서 왜 유도한 것인지 잊어버리셨을 것 같습니다. 

 

오늘은 유도한 이유를 다시 설명하며 강의의 방향성을 재정립하려고 합니다. 

 

z검정을 배우고 있었습니다. z검정은 표본평균의 분포가 평균을 모평균으로 하고 분산이 모분산/표본크기인 정규분포를 따른다는 성질을 기반으로 합니다. 

 

$\bar{X} \sim N\left ( \mu, \frac{\sigma^{2}}{n} \right )$

 

문제는 모분산을 모른다는데 있습니다. 모분산은 보통 알려져 있지 않습니다. 이 문제를 어떻게 해결할 수 있을까요. 가장 쉽게 떠오르는 방법은 아래와 같을 것입니다. 

 

"표본의 분산을 모분산 대신 사용하자"

아래와 같이 대체하는 것입니다. (σ는 모표준편차, s는 표본표분편차입니다.)

 

$\bar{X} \sim N\left ( \mu, \frac{\sigma^{2}}{n} \right ) \ \rightarrow \ \bar{X} \sim N\left ( \mu, \frac{s^{2}}{n} \right )$

 

이래도 괜찮을까요? 

4강에서 배운 것처럼 아래 등식이 성립합니다. 

$E\left ( s^{2} \right )=\sigma^{2}$

 

표본분산의 평균은 모평균입니다. 표본분산은 모분산의 괜찮은 추정량일 수 있습니다. 

 

표본분산의 평균이 모분산인 것이지, 우리가 뽑은 표본의 분산이 모분산과 같은 것은 아닙니다. 우리가 뽑은 표본의 분산이 모분산과 얼마나 같은지 혹은 다른지 알아볼 방법이 있을까요? 

라는 의문을 풀기 위해서 표본분산의 분포를 유도한 것입니다. 다음시간부터 이 의문을 해결해보도록 합시다.