반응형 @ OO의 이해/적률(Moment)의 이해16 [통계 적률의 이해] 16. 특성함수가 항상 존재하는 이유 적률생성함수가 존재하지 않는 경우에는 특성함수를 사용할 수 있습니다. 특성함수는 모든 확률분포에 대해 존재하기 때문입니다. 오늘은 정말 그러한지를 증명해봅시다. 먼저 특성함수가 존재한다는 의미가 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 특성함수가 존재한다는 것은 t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 의미입니다. 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itx} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ .. 2022. 9. 23. [통계 적률의 이해] 15. 특성함수 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포들이 있다는 것을 배웠습니다. 자주 사용되는 t분포도 적률생성함수가 없었습니다. 적률생성함수와 같은 역할을 하면서, 모든 확률분포에서 존재하는 함수가 발견되었습니다. 이 함수가 특성함수입니다. 특성함수는 적률생섬함수의 t 대신 it 를 넣은 함수입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$ 여기서 $\varphi $ 는 그리스어인데 fi 또는 fie 로 발음합니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됐었습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\i.. 2022. 9. 23. [통계 적률의 이해] 14. 적률생성함수가 없는 분포도 있다 모든 확률분포에서 적률생성함수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 도 있습니다. 오늘은 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포를 한가지 알아봅시다. 아래와 같은 확률분포인데요. Cauchy 분포의 일종입니다. $f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$ Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. $f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$ 위에서 소개한 분포는 Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. 지금부터 아래 분포의 적률생성함수를 구해봅시다. $f(x)=\frac{1.. 2022. 9. 12. [통계 적률의 이해] 13. 적률생성함수가 같으면 같은 분포일까 두 확률변수의 확률분포가 같으면, 적률생성함수는 확률분포를 적분하여 구하는 것이므로 적률생성함수도 당연히 같습니다. 반대로 두 확률변수의 적률생성함수가 같다고 합시다. 이때 두 확률변수의 확률분포는 같다고 할 수 있을까요? 대답은 yes 입니다. 어떻게 그럴 수 있는지 수학적으로 유도해 봅시다. 두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ty}f(y)dy$ 좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{tz}f_{X}(z)dz=\int_{-\infty}.. 2022. 9. 12. [통계 적률의 이해] 12. 정규분포의 첨도는 왜 3인가 우리는 10강에서 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 11강에서는 정규분포의 중심적률생성함수로 구한 2,3차 중심적률을 이용하여 정규분포의 왜도를 구했습니다. 지난시간에 구한 2,3차 중심적률과 왜도는 아래와 같습니다. $\mu_{2}=\sigma^{2}$ $\mu_{3}=0$ $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}=0$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 첨도를 계산해보려고 합니다. 첨도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\kappa=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^2}$ 4차 중심적률을 .. 2022. 8. 7. [통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기 지난시간에 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 왜도를 계산해보려고 합니다. 왜도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}$ $\mu_{2}$ 는 2차 중심적률, $\mu_{3}$는 3차 중심적률입니다. 중심적률생성함수를 한번 미분합시다. $\frac{dM_{x-\mu}(t)}{dt}=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{2}t$ 한번 더 미분합시다. $\frac{d^{2}M_{x-\mu}(t)}{dt^{2}.. 2022. 5. 25. [통계 적률의 이해] 10. 정규분포의 중심적률생성함수 지난 시간에 우리는 정규분포의 적률생성함수를 이용하여 평균과 분산을 구했습니다. 우리가 구했던 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 이제 왜도를 구할 차례인데요. 1,2,3차 적률을 이용하여 왜도를 구하는 방법은 아래와 같습니다. $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ 중심적률을 이용하면 훨씬 간단하게 구할 수 있었습니다. $\gamma _{1}=\frac.. 2022. 5. 24. [통계 적률의 이해] 9. 정규분포의 적률생성함수로 평균,분산 구해보기 지난시간에 유도한 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 적률생성함수를 이용하여 평균, 표준편차, 왜도, 첨도를 구해봅시다. 1. 평균 적률생성함수를 한번 미분하고 t에 0을 넣으면 됩니다. 적률생성함수를 한번 미분합시다. $\frac{dM_{X}(t)}{dt}=E(Xe^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} } \times \left (\mu+\sigma^{2}t \right )$ t에 0을 넣겠습니다. $\left.\begin{matrix} \frac{dM_{X}(t)}{dt} \end{matrix}\right|_{t=0}=E(X)=\mu$ 2. 분산 분산은 아.. 2021. 11. 4. [통계 적률의 이해] 8. 정규분포의 적률생성함수 적률생성함수가 무엇인지 알게되었으니 실제 확률변수에 적용해봅시다. 가장 대표적인 분포인 정규분포를 따르는 확률변수에 적용하겠습니다. 적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 정규분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$ 정규분포의 확률밀도함수를 적률생성함수 수식에 대입합시다. $M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2.. 2021. 11. 4. [통계 적률의 이해] 7. 적률생성함수 수학 거의 없이 이해하기 지난 강의에서 수학을 많이 사용하여 적률생성함수를 설명했는데요. 혹시 수학에 어려움을 느끼는 분들이 계실 수도 있어서 이번 시간에는 수학을 최대한 적게 쓰며 적률생성함수를 설명해보겠습니다. 적률생성함수는 함수입니다. 변수는 t입니다. t에대한 함수에요. 아래와 같습니다. $M(t)$ 어떤 확률변수 X의 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]$ 위 식을 이용하면 정규분포의 적률생성함수도 구할 수 있고 이항분포의 적률생성함수도 구할 수 있습니다. 적률생성함수를 한번 구해놓으면 유용하게 사용됩니다. 적률생성함수를 한번 미분에서 t에 0을 넣으면 X의 기댓값인 $E\left [ X \right ]$ 가 구해집니다. 두번 미분하고 t에 0을 넣으면 $.. 2021. 10. 27. [통계 적률의 이해] 6. 적률생성함수란? 적률생성함수는 영어로 moment generating function 입니다. 줄여서 MGF라고 부르는데요. 말 그대로 적률을 생성해주는 함수입니다. 어떤 적률을 생성해주는걸까요? 우리는 지난시간까지 세가지 종류의 적률을 배웠습니다. - 적률 - 중심적률 - 표준화적률 적률생성함수는 이들 중 '적률'을 생성합니다. 물론 적률은 적분을 통해서 구할 수 있습니다만, 적률생성함수를 한번 구해놓으면 n차 적률을 아주 쉽게 구할 수가 있습니다. 아주 기발한 방법입니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]$ 연속확률변수라면 아래와 같이 구할 수 있습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\i.. 2021. 9. 16. [통계 적률의 이해] 5. 적률들 한눈에보기 우리는 지금까지 세가지 적률을 공부했습니다. 적률, 중심적률, 표준화적률입니다. 세 적률이 통계량인 평균,분산,왜도,첨도와 어떤 관계가 있는지도 공부했습니다. 지금까지 배운 내용들을 표로 정리해봅시다. 이름 기호 정의 기댓값 형태 통계량과의 관계 적률 $\mu_{n}'$ $\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ $E\left [ X^{n} \right ]$ 평균 = $\mu_{1}'$ 중심적률 $\mu_{n}$ $\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$ $E\left [ \left ( X-\mu \right )^{n} \right ]$ 분산 = $\mu_{2}$ 표준화적률 $\tilde{\mu}_{n}$ $\frac{\mu_{n}}{\sigma^.. 2021. 9. 9. [통계 적률의 이해] 4. 표준화적률과 평균,분산,왜도 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 6. 정률생성함수는 어디다 쓸까? 7. 정규분포의 적률생성함수 적률과 중심적률을 배운 상태입니다. 적률과 중심적률의 정의는 아래와 같습니다. $\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$ 평균, 분산, 왜도를 적률과 중심적률을 이용하여 표현해보았습니다. 평균은 1차 적률입니다. $mean=\mu'_{1}$ 분산은 2차 중심적률입니다. $Variance=\mu_{2}$ 왜도는 2차 중심적률과 3차 중심적률을 이용하여 표현할 수 있습니다. $Skewness=\frac{ \mu_{3} }{\mu_.. 2021. 8. 20. [통계 적률의 이해] 3. 중심적률과 평균,분산,왜도 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난시간에는 적률을 이용해서 평균,분산,왜도를 표현해보았습니다. 아래와 같습니다. $E(X)=\mu'_{1}$ $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2}$ $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ $\mu'_{1}$ 은 1차적률, $\mu'_{2}$ 는 2차적률입니다. 분산 까지는 괜찮은데 왜도는 상당히 .. 2021. 8. 18. [통계 적률의 이해] 2. 통계에서의 적률과 평균,분산,왜도 목차 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난 시간에 배운 n차 적률의 수학적 정의는 아래와 같습니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$ 통계에서 '적률'이라고 하면 c=0 인 적률을 말합니다. 위첨자를 붙여서 사용합니다. $\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ 통계에서는 적률 외에도 '중심 적률'과 '표준화 적률'도 정의해서 사용합니다. 다음 시간에 배우기로 하고 오늘은 적률을 공부해봅시다. 1차 적률 1차 적률을 구해보면 아래와 같습니다. $\mu'_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 평균의 정의와 같습니다. 따라서 1차 적.. 2021. 8. 16. [통계 적률의 이해] 1. 적률이 뭔가요? 목차 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 적률은 수학에서 정의된 개념입니다. 함수의 모양을 수학적으로 표현하는 하나의 척도입니다. 수학에서 정의된 적률이 물리학과 통계학에서 사용되는 것입니다. 처음부터 의도한 것은 아니지만 만들어 놓고 보니 적률이 물리적인, 통계적인 어떤 개념과 일치했던 것입니다. 물리학에서는 질량(0차적률), 질량중심(1차적률), 관성모멘트(2차적률)로 사용됩니다. 통계학에서는 평균(1차적률), 분산(2차적률), 왜도(3차 적률), 첨도(4차 적률)로 사용됩니다. 더 정확이 이야기하면, 결과적 일치라고 할 수 있습니다. 수학에서 적률을 정의하고 그 후에 물리와 통계에서 가져다 썼다고 보는 것은 이해의 편의를 위한 해석에 가깝습니다... 2019. 9. 21. 이전 1 다음 반응형
