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감마함수21

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 72. 표본분산의 분포 유도 (37) 카이제곱분포 완성 우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요. 카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다. $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!} e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$ $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \left \{ \left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \left ( \frac{n}{2}-2 \right .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 71. 표본분산의 분포 유도 (36) 감마함수 관련 다루지 못한 내용들 우리는 지난시간까지 감마함수를 유도하고 양의 실수 영역에서 수렴함을 보였습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 몇가지 더 다루고 싶었지만 시간 관계상 다루지 못한 내용을 언급만 하고 넘어가려고 합니다. 본 강의의 개정버전에서는 다룰 예정이라 기억용으로 언급하는 것입니다. 1) 감마함수의 무한곱형과 적분형의 동치관계입니다. 함수의 모양은 다르지만 한 함수로 다른 함수를 유도할 수 있는 관계입니다. 2) 감마함수의 복소수 영역에서의 수렴성입니다. 0을 포함한 음의 정수를 제외한 복소수 영역에서 감마함수가 수렴합니다. 두가지 내용은 기억해 두었다가 개정버전에서 다루도록 하겠습니다. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다. $(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 이 함수가 바로 감마함수입니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약 감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다. 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 0 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명 감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 .. 2021. 9. 18.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴.. 2021. 9. 18.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 65. 표본분산의 분포 유도 (30) 감마함수 수렴성 증명 #1 우리가 유도한 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ z는 0과 음의정수를 제외한 복소수 영역에서 수렴하는데요. 본 강의에서는 0보다 큰 실수 영역에서만 감마함수를 사용할 것이기 때문에 해당 영역에서만 수렴성을 보이겠습니다. 증명하는 절차가 복잡하기 때문에 먼저 전체요약을 먼저 하고 각 단계를 상세히 설명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 \leq e^{-t}t^{n-1} \leq e^{-\frac{1}.. 2021. 8. 1.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 64. 표본분산의 분포 유도 (29) 감마 1/2 계산하기 감마함수 적분형을 이용하여 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 $\frac{1}{2}!$이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다. 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ $\Gamma (\frac{1}{2})$ 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다. $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$ t를 $x^{2}$으로 치환합시다. $\begin{align} t&=x^{2}\\ dt&=2xdx \end{align}$.. 2021. 8. 1.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 63. 표본분산의 분포 유도 (28) 감마함수 적분형의 재귀적 성질 우리는 감마함수 무한곱형과 감마함수 적분형을 둘 다 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$ $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 두 함수는 완전히 동일하다고 합니다. 감마함수 적분형을 이용하여 무한곱형을 유도할 수 있고, 반대도 가능합니다. 이를 동치관계라고 하는데, 동치관계인 것을 보이지는 않겠습니다. 어렵고 길 것 같아 패스합니다. 감마함수 무한곱형에서 제귀적 성질이 성립한다는 것도 보였습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.. 2021. 8. 1.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 61. 표본분산의 분포 유도 (26) 팩토리얼과 적분의 연결 우리는 지난시간에 이분의일 팩토리얼이 루트 파이임을 증명했습니다. $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 오일러는 이 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분은 당시에 이미 알려져 있는 수식이었습니다. 왈리스, 뉴튼, 스털링이 이미 이 적분의 특수형을 다뤘었다고 합니다. 위 적분을 변형해서 팩토리얼이 포함된 식으로 바꿔보겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left [ \frac{1}{e+1}x^{e+1}(1-x)^{n} \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+.. 2021. 6. 19.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 60. 표본분산의 분포 유도 (25) 이분의일 팩토리얼이 이분의 루트 파이임을 증명 지난 시간에 우리는 왈리스공식을 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )= \left ( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right ) \left ( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right ) \left ( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right ) \left ( \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right ) \cdots $ 이번 시간에는 왈리스공식과 오일러 무한곱을 이용하여 $\frac.. 2021. 6. 19.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 55. 표본분산의 분포 유도 (20) 감마함수 무한곱형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 무한곱형을 유도했습니다. 유도 결과는 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 49~52강에 걸쳐 유도했는데요. 오늘은 그 과정을 간단히 요약해봅시다. 유도과정 요약 오일러는 아래 극한값을 발견합니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ .. 2021. 5. 10.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 54. 표본분산의 분포 유도 (19) 감마함수 무한곱형의 재귀적 성질 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오늘은 감마함수의 성질중에서 재귀적 성질(Recurrence relation)을 유도해보도록 하겠습니다. 재귀적 성질은 아래와 같습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ 팩토리얼 함수 $f(n)=(n-1)!$에서 성립하던 성질인데요. 정의역을 실수로 확장한 뒤에도 이 성질이 성립합니다. 증명 아래 등식에서 출발합시다. $\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\inft.. 2021. 4. 23.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 53. 표본분산의 분포 유도 (18) 감마함수 무한곱형의 정의역 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}$$ 오늘은 감마함수의 정의역을 알아봅시다. x에 0을 넣어봅시다. $\Gamma (0)=\frac{1}{0}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{0}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{0}$ 1/0이므로 정의되지 않습니다. x에 -1을 넣어봅시다. $\Gamma (-1)=\frac{1}{-1}\prod_{m=1}^{\i.. 2021. 4. 22.

오일러 적분 두가지(베타함수, 감마함수) 1) 1종 오일러 적분 (베타함수) 영어로는 Euler integral of the first kind 이다. $B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ 2) 2종 오일러 적분 (감마함수) 영어로는 Euler integral of the second kind 이다. f(n)=(n-1)!의 정의역을 실수범위로 확장하는 과정에서 발견되었다. 발견하고 보니 음의정수가 아닌 모든 복소수영역에서 정의된다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$ 3) 두 적분의 관계 $B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$ 2021. 4. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 52. 표본분산의 분포 유도 (17) 팩토리얼 함수의 정의역 확장 우리는 49,50강에서 n!를 아래와 같은 형태로 변형했습니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이 함수를 감마함수로 바꾸기 전에 한가지 변형을 더 해야합니다. 감마함수는 팩토리얼함수인 (n-1)!을 확장한 것이어서, 위 함수도 (n-1)!로 변형해야 합니다. 아래와 같이 변형합니다. $$ n(n-1)!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 양변을 n으로 나눠줍니다. $$(n-1)!=\fr.. 2021. 4. 21.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 50. 표본분산의 분포 유도 (15) 오일러 극한값의 변형 오일러가 발견한 극한값을 오늘날의 감마함수가 되기 직전의 형태로 변형해봅시다. 오일러가 발견한 극한값은 아래와 같습니다. 지난시간에는 이 수식을 증명했고, 오늘은 이 수식을 변형할 것입니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots $$ 극한을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. $$ n!=\lim_{m\rightarrow \infty } \left [ .. 2020. 12. 21.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 49. 표본분산의 분포 유도 (14) 오일러가 발견한 극한값 우리는 팩토리얼함수인 f(n)=(n-1)! 을 실수영역으로 확장하려는 시도를 하고 있습니다. 이를 위해 아래 조건을 만족하는 함수를 찾아야 합니다. 1) n이 자연수 일 때, f(n)=(n-1)! 2) f(n)=(n-1)! 로 찍은 점을 부드럽게 연결 이제 이 함수를 찾아봅시다. 함수를 찾는 과정은 그닥 매끄럽지 않습니다. 매끄럽지 않은 이유는, 과정에서 '하늘에서 떨어진'듯한 수식들이 등장하는데, 그 수식들의 발견과정을 알 수 없기 때문입니다. 발견과정을 알 수 없는 이유는 기록이 없기 때문입니다. 만약 사후세계가 있고 오일러를 만날 수 있다면 그제야 알 수 있을겁니다. 유도 과정이 간단하면 논리적인 인과관계를 갖도록 재구성을 해볼텐데, 아쉽게도 아직 그럴 능력이 없습니다. 최대한 간극을 매워보도록 합.. 2020. 12. 15.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 48. 표본분산의 분포 유도 (13) 감마함수의 등장 (보완) 지난시간에 설명한 감마함수의 등장과정이 매끄럽지 않은 것 같아서 한번 더 설명하려고 합니다. 매끄럽지 않은 부분부터 말씀드리겠습니다. f(n)=(n-1)! 에서 도출할 수 있는 식은 아래와 같습니다. f(n)=(n-1)f(n-1) 이 식을 실수 x로 확장한다는 부분입니다. f(x)=(x-1)f(x-1) 위 성질이 결국 만족하게 되기는 하지만, n을 갑자기 x로 바꾸는 부분이 매끄럽지 않습니다. 팩토리얼 함수 이후부터 다시 설명하겠습니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의했었습니다. f(n)=(n-1)! 0과 양의정수에서 정의된 함수입니다. 이 함수를 실수의 영역으로 확장해야하는데요. 실수 영역으로 확장한다는 것의 의미를 이해해봅시다. 팩토리얼 함수를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 팩토리얼함수를 실수.. 2020. 12. 14.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 47. 표본분산의 분포 유도 (12) 감마함수의 등장 지난시간까지 n자유도 카이제곱분포의 짝수형과 홀수형을 더블팩토리얼형태로 유도하고, 팩토리얼 형태로 변형했습니다. 결과는 아래와 같습니다. 짝수형은 팩토리얼 형태로 변형할 수 있었지만, 홀수형은 불가능했습니다. 홀수형의 대괄호안 인수들이 자연수가 아니라 유리수이기 때문입니다. 팩토리얼은 자연수에서만 정의됩니다. 우리는 팩토리얼 개념을 자연수에서 유리수로 확장해야하는 상황입니다. 우리가 알고 있는 팩토리얼의 정의는 아래와 같습니다. 함수 형태로 만들어봅시다. 팩토리얼 함수를 아래와 같이 정의하겠습니다. 왜 f(n)=n! 으로 정의하지 않았냐는 의문이 드는 분도 계실겁니다. n이 자연수이기 때문에 f(n)=n! 으로 정의할 경우 함수값이 1! 부터 시작됩니다. 하지만 팩토리얼은 0! 부터 정의되어 있기 떄문에.. 2020. 8. 26.

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