[손으로 푸는 통계 ver1.0] 49. 표본분산의 분포 유도 (14) 오일러가 발견한 극한값

 

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우리는 팩토리얼함수인 f(n)=(n-1)! 을 실수영역으로 확장하려는 시도를 하고 있습니다. 이를 위해 아래 조건을 만족하는 함수를 찾아야 합니다.

1) n이 자연수 일 때, f(n)=(n-1)!
2) f(n)=(n-1)! 로 찍은 점을 부드럽게 연결

 

이제 이 함수를 찾아봅시다. 

 

함수를 찾는 과정은 그닥 매끄럽지 않습니다. 매끄럽지 않은 이유는, 과정에서 '하늘에서 떨어진'듯한 수식들이 등장하는데, 그 수식들의 발견과정을 알 수 없기 때문입니다. 발견과정을 알 수 없는 이유는 기록이 없기 때문입니다. 만약 사후세계가 있고 오일러를 만날 수 있다면 그제야 알 수 있을겁니다. 유도 과정이 간단하면 논리적인 인과관계를 갖도록 재구성을 해볼텐데, 아쉽게도 아직 그럴 능력이 없습니다. 최대한 간극을 매워보도록 합시다. 

 

오일러가 '이런저런'걸 하다가 아래 수식을 발견합니다. 정확한 기록이 남아있지 않아서, 아래 수식 발견과정을 우리는 알 수 없습니다. 다만 좌/우변이 정말 같은지 증명해볼 수는 있습니다.

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$$n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ]   \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ]   \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots$$

 

극한을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$$n!=\lim_{m\rightarrow \infty }  \left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ]\cdots  \left [ \left ( \frac{m+1}{m} \right )^{n} \cdot \frac{m}{n+m} \right ]$$

 

등호가 성립함을 증명해봅시다. 위 식을 약분하면 아래와 같이 정리됩니다. 

 

$$n!=\lim_{m\rightarrow \infty }\frac{ (m+1)^{n}\cdot m! }{(n+1)(n+2)\cdots (n+m) }$$

 

양변을 n!로 나눕시다. 

 

$$1=\lim_{m\rightarrow \infty }\frac{ (m+1)^{n}\cdot m! }{(n+1)(n+2)\cdots (n+m)n! }$$

 

좌변의 분자는 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$$1=\lim_{m\rightarrow \infty }\frac{ (m+1)^{n}\cdot m! }{(n+m)! }$$

 

다시 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$$1=\lim_{m\rightarrow \infty }\frac{ (m+1)^{n}\cdot m! }{(m+n)(m+n-1)\cdots (m+1)m! }$$

 

m!을 약분합시다.

 

$$1=\lim_{m\rightarrow \infty }\frac{ (m+1)^{n} }{(m+n)(m+n-1)\cdots (m+1) }$$

.....①번 식

 

분자분모 최고차항의 차수가 같으므로 위 등식이 성립합니다.

 

따라서 우리는 오일러가 발견한 아래 등식이 성립한다는 것을 보인 것입니다. 

 

$$n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ]    \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ]    \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots$$

 

우변에 팩토리얼 식이 없기 때문에, n에 정수가 아닌 수를 넣어도 값을 구할 수가 있습니다. 자연스럽게 정수가 아닌 영역으로 팩토리얼 함수가 확장됩니다. 다음시간에는 위 수식을 오늘날 오일러 무한곱꼴로 알려진 형태로 변형해봅시다. 

 

 

<참고문헌>
Davis, P. J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function"