[손으로 푸는 통계 ver1.0] 50. 표본분산의 분포 유도 (15) 오일러 극한값의 변형

 

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오일러가 발견한 극한값을 오늘날의 감마함수가 되기 직전의 형태로 변형해봅시다. 

 

오일러가 발견한 극한값은 아래와 같습니다. 지난시간에는 이 수식을 증명했고, 오늘은 이 수식을 변형할 것입니다. 

 

$$n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ]    \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ]    \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots$$

 

극한을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$$n!=\lim_{m\rightarrow \infty }   \left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ]  \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ]\cdots   \left [ \left ( \frac{m+1}{m} \right )^{n} \cdot \frac{m}{n+m} \right ]$$

 

위 식을 약분하면 아래와 같이 정리됩니다. 

 

$$n!=\prod_{m=1}^{\infty }\left ( \frac{m+1}{m} \right )^{n}\cdot \frac{m}{n+m}$$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$$n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$

 

이제 우리는 이 함수의 정의역을 확장하여 감마함수로 바꿔야 합니다. 

다음시간에는 위 함수가 어떻게 팩토리얼 함수를 확장한 감마함수가 될 수 있는지는 다루도록 하겠습니다. n을 실수 영역으로 확장하는 것에 대한 이야기를 할 것입니다.