[손으로 푸는 통계 ver1.0] 54. 표본분산의 분포 유도 (19) 감마함수 무한곱형의 재귀적 성질

 

우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. 

 

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$

 

오늘은 감마함수의 성질중에서 재귀적 성질(Recurrence relation)을 유도해보도록 하겠습니다. 재귀적 성질은 아래와 같습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

 

팩토리얼 함수 $f(n)=(n-1)!$에서 성립하던 성질인데요. 정의역을 실수로 확장한 뒤에도 이 성질이 성립합니다. 

 

증명

아래 등식에서 출발합시다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z+1}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z+1}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z+1}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}\left ( 1+\frac{1}{m} \right )$

 

분모 괄호을 아래와 같이 통분해줍시다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z+1}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}\left ( 1+\frac{1}{m} \right )$

 

마지막 항을 아래와 같이 통분합시다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z+1}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}\left ( \frac{m+1}{m} \right )$

 

분모의 괄호항과 계산해주면 아래와 같습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z+1}{m+1} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

무한곱을 아래와 같이 분리합니다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}
\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z+1}{m+1} \right )}
\prod_{m=1}^{\infty } \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

m+1을 k로 치환합니다. 

 

$\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}
\prod_{k=2}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{k+z}{k} \right )}
\prod_{m=1}^{\infty } \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

k가 1일 때는 $\frac{1}{z+1}$이므로 아래와 같이 합쳐줄 수 있습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=
\prod_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{k+z}{k} \right )}
\prod_{m=1}^{\infty } \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

k를 m으로 바꿔줍니다. 둘다 1부터 무한대까지 대입하는 기호이므로 교환이 가능합니다. 바꿔도 결과가 같다는 말입니다. 

 

$\Gamma (z+1)=
\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z}{m} \right )}
\prod_{m=1}^{\infty } \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

무한곱 항을 합쳐줍니다. 

 

$\Gamma (z+1)=
\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \frac{m+z}{m} \right )}
\left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

분모 괄호항을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\Gamma (z+1)=
\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left (1+ \frac{z}{m} \right )}
\left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

z를 곱하고 나눠줍니다. 1을 곱한것과 같습니다. 등호에 영향을 주지 않습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=z\frac{1}{z}
\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left (1+ \frac{z}{m} \right )}
\left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

z이후의 항은 $\Gamma (z)$ 입니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$