[손으로 푸는 통계 ver1.0] 58. 표본분산의 분포 유도 (23) 왈리스 공식 유도2 (Wallis product)

 

 

지난시간에 유도한 1번식, 2번식, 기본적인 함수값은 아래와 같습니다. 

 

$I(n)=  \frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$

 

$\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=  \frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$

 

$I(0)= \int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx =\int_{0}^{\pi}1dx =x  \vert_0^\pi =\pi$

 

$I(1)= \int_{0}^{\pi}\sin x \ dx =-\cos x  \vert_0^\pi =2$

 

 

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$I(2n)$ 을 계산합시다.

 

위에서 유도한 1번 식에 2n을 대입합니다.

 

$I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)$

 

$2n-2$는 다시 아래와 같이 변형됩니다. 1번식을 이용하면 됩니다. 

 

$I(2n)= \frac{2n-1}{2n}\cdot  \frac{2n-3}{2n-2} I(2n-4)$

 

이런 규칙을 계속 적용하면 아래 수식을 얻습니다.

 

$I(2n)= \frac{2n-1}{2n}\cdot  \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdots  \frac{5}{6}\cdot  \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} I(0)$

 

$I(0)$ 는 $\pi$ 입니다.

 

$I(2n)= \frac{2n-1}{2n}\cdot  \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdots  \frac{5}{6}\cdot  \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} \pi$

 

아래와 같이 수열의 곱셈기호를 이용하여 나타낼 수 있습니다. 이 식을 3번 식이라고 합시다. 

 

$I(2n)= \pi \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \quad ......(3)$

 

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이번에는 $I(2n+1)$ 을 계산합시다.

 

위에서 유도한 1번 식에 2n+1을 대입합니다.

 

$I(2n+1)=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)$

 

$2n-1$는 다시 아래와 같이 변형됩니다. 1번식을 이용하면 됩니다.

 

$I(2n+1)= \frac{2n}{2n+1}\cdot  \frac{2n-2}{2n-1} I(2n-3)$

 

이런 규칙을 계속 적용하면 아래 수식을 얻습니다.

 

$I(2n+1)= \frac{2n}{2n+1}\cdot  \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdots  \frac{6}{7}\cdot  \frac{4}{5}\cdot  \frac{2}{3}I(1)$

 

$I(1)$ 는 $2$ 입니다.

 

$I(2n+1)= \frac{2n}{2n+1}\cdot  \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdots  \frac{6}{7}\cdot  \frac{4}{5}\cdot  \frac{2}{3}\cdot 2$

 

아래와 같이 수열의 곱셈기호를 이용하여 나타낼 수 있습니다. 이 식을 4번 식이라고 합시다. 

 

$I(2n+1)=2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} \quad ......(4)$

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이제 재료 준비는 끝났습니다.