[손으로 푸는 통계 ver1.0] 55. 표본분산의 분포 유도 (20) 감마함수 무한곱형 유도과정 요약

 

우리는 지난시간까지 감마함수 무한곱형을 유도했습니다. 유도 결과는 아래와 같습니다. 

 

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$

 

49~52강에 걸쳐 유도했는데요. 오늘은 그 과정을 간단히 요약해봅시다.

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유도과정 요약

 

오일러는 아래 극한값을 발견합니다. 

 

$$ 
n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] 
 \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] 
 \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots 
$$

 

위 수식을 아래와 같이 변형했습니다.

 

$$
n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\
$$

 

팩토리얼 함수 형태로 바꿨구요. 

 

$$f(n)=(n-1)!=\frac{1}{n}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$

 

정의역을 확장하여 감마함수의 무한곱형을 유도했습니다.

 

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$

감마함수의 정의역은 0과 음수를 제외한 복소수입니다.

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성질

 

아래 성질이 성립함을 보였습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

 

감마함수의 제귀적 성질이라고 합니다. 

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오일러는 여기서 멈추지 않습니다. 또다른 형태의 감마함수를 유도하게 되는데요. 다음시간부터 알아봅시다.