@기초과목/확률과통계 기초55

[확률과 통계 기초] 3-32. 누적분포함수를 미분해보았다 우리는 연속확률변수에서 ‘가능성’이라고 부르는 어떤 것의 정체를 밝혀내는 중입니다. 이 가능성이 무엇인지 이해하기 위해 아래 예시를 다시 봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 이 상황을 나타낸 그래프도 그려보았지만, 우리가 말하는 '가능성'이 무엇인지 이해할 수 없었습니다 . 사람들은 누적분포함수를 미분해 보는 방법을 선택했습니다. 위 예시의 누적분포함수는 다음과 같습니다.

$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$ 이 함수를 미분한 결과를 f(x)라고 놓으면 다음과 같습니다. $.. 2024. 11. 28.

[확률과 통계 기초] 3-31. 확률은 아니지만 확률 같은 무언가 우리가 매번 사용하고 있는 예제를 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 여기서 확률변수 X는 확률을 갖지 않습니다. 확률을 갖는 순간 전체 확률이 무한대가 되기 때문입니다. 그런데 우리는 X각 60~100kg 사이로 변할 ‘가능성’이 같다고 말했습니다. 어느 값으로 변하던 그 가능성이 동일하다는 가정을 하고 싶었기 때문입니다. 이 가능성은 확률은 아닙니다. 현재까지 배운 내용으로는 뭐라고 표현할 말이 없어서 가능성이라고 이야기한 것입니다. 하지만 느낌상 확률과 비슷한 무언가라는 것은 알 수 있습니다. 우리는 이 ‘가능성’이 의미하는 것이 무.. 2024. 11. 25.

[확률과 통계 기초] 3-30. 가능성이 변하는 연속확률변수 지난시간에 함께 해결해보려고 했던 궁금증을 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 지금까지는 이 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성이 동일하다고 했었습니다. 60kg 로 변할 가능성과 100kg로 변할 가능성이 동일하다고 놓은 것입니다. 각 몸무게가 발생할 확률은 정의할 수가 없었고, 구간의 확률만 정의할 수 있었습니다. 그래서 누적분포함수를 구했었습니다. 아래와 같습니다.

$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$ 이번에는 생각을 달리해봅시다. 60kg으로 변할 가능성이 가장 낮고, 100kg로 갈 수록 가능성이 서서히 높아지다가 100kg 으로 변할 가능성이 가장 높다고.. 2024. 11. 16.

[확률과 통계 기초] 3-29. 누적분포 함수 익숙해지기 지난시간에 배운 누적분포함수의 정의를 복습해봅시다. 구간이

$a\leq X \leq b$ 인 확률변수가 있다고 합시다. 확률변수 X가 각 값이 될 가능성은 동일하다고 가정하겠습니다. 확률변수 X의 누적분포함수는 아래와 같습니다.

$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-a}{b-a} \ \ (a\leq x \leq b)$ 오늘은 이 누적분포함수에 익숙해지는 시간을 갖겠습니다. 우리가 계속 사용하던 예시를 다시 살펴보겠습니다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 확률변수 X의 누적분포 함수는 아래와 같습니다. $$ F(x)=P[X \leq x]=\f.. 2024. 11. 14.

[확률과 통계 기초] 3-28. 연속확률변수의 누적분포함수 연속확률변수에서는 구간의 확률만 정의할 수 있고 개별 값에 대한 확률은 정의되지 않았습니다. 개별 값의 확률이 0이기 때문입니다. 그럼 연속확률변수에서는 확률과 관련된 함수를 정의할 수 없는걸까요. 연속확률변수에서 구간의 확률을 정의할 수 있다는 성질을 이용하면 함수를 정의할 수 있습니다. 지난시간에 사용하던 예시를 가져옵시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 으로 바뀌는 약이 있다고 합시다. 각 몸무게가 될 가능성은 동일합니다. 이때 약을 먹고 몸무게가 60이상

$x$ 이하가 될 확률을 정의할 수 있습니다.

$P[60 \leq X \leq x]$ 확률은 얼마일까요? 위 구간의 길이인

$x-60$ 을 전체 길이인 40으로 나눠주면 됩니다. 아래와 같습니다. $$P[60 \leq X \leq .. 2024. 11. 4.

[확률과 통계 기초] 3-27. 연속확률변수에서 구간의 확률은 정의할 수 있다 지난 시간에 우리는 연속확률변수의 개별 원소에 대해 확률을 정의할 수 없다는 것을 배웠습니다. 이는 각 원소의 확률을 정의하게 되면 전체 확률의 합이 무한대로 발산하기 때문입니다. 그렇다면 연속확률변수에서 확률은 어떻게 정의할 수 있을까요? 연속확률변수에서는 개별 값의 확률이 아닌, 구간의 확률을 정의할 수 있습니다. 이를 통해 전체 확률이 1로 유지되면서도 각 구간의 확률을 계산할 수 있습니다. 예시를 들어보겠습니다. 지난번에 사용한 예시입니다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 으로 바뀌는 약이 있다고 합시다. 각 몸무게가 될 가능성은 동일하다고 가정합시다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 하겠습니다. 확률변수 X가 60~70kg 사이가 될 확률은 아래와 같이 정의할 수 있습니다. .. 2024. 9. 6.

[확률과 통계 기초] 3-26. 연속확률변수에서는 확률이 정의되지 않는 이유 우리는 지난시간에 연속확률변수를 배웠습니다. 연속확률변수는 3-5강에서 이미 한번 배웠었는데요. 시간이 많이 지났기 때문에 지난 강의에서 한번 더 복습을 했습니다. 오늘은 연속확률변수에서 각 원소의 확률이 정의되지 않는다는 내용을 배워볼겁니다. 그전에 이산확률변수의 확률분포를 하나 살펴보겠습니다. 이산확률변수에 속하는 이항분포를 배웠던 기억을 떠올려 봅시다. 자유투 성공률이 70%인 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 성공한 횟수를 X로 놓을 때, 확률함수는 아래와 같았습니다.

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 확률함수를 구해놓으면 원하는 확률변수의 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. X에 궁금한 값을 대입하면 확률이 구해집니다. 연속확률변수에도 이런 확률함수를 구할 수 있.. 2024. 8. 23.

[확률과 통계 기초] 3-25. 연속확률변수 복습 지금까지 우리는 이산확률변수를 배웠습니다. 이산확률변수는 셀 수 있는 확률변수였습니다. 동전을 던져서 나오는 앞면의 수도, 들어간 자유투 개수도 셀 수 있습니다. 하나, 둘, 셋 이렇게 번호를 붙여서 셀 수가 있습니다. 확률변수가 하나 더 있었는데요. 연속확률변수입니다. 앞으로는 연속확률변수에 대해서 배워볼겁니다. 연속확률변수는 셀 수 없는 확률변수입니다. 번호 붙여서 셀 수 없다는 뜻인데요. 예를 한번 들어보겠습니다. 어떤 약이 있습니다. 먹으면 40~100kg 사이의 몸무게로 랜덤하게 바뀌는 약입니다. 각 몸무게가 될 확률은 동일합니다. 여기서 40~100은 40이상 100이하의 '실수'를 의미합니다. 이 약을 먹었을 때 변하는 몸무게를 확률변수 X라고 놓겠습니다. 확률변수 X를 셀 수 있나.. 2024. 8. 12.

[확률과 통계 기초] 3-24. 자료의 분산 vs 확률변수의 분산 우리는 두가지 분산을 배웠습니다. 자료의 분산과 확률변수의 분산입니다. 오늘은 두 분산을 비교해보겠습니다. 자료의 분산은 중학교 수학에서 처음 등장합니다. 우리는 3-21강에서 다뤘습니다. 자료를 예를 들면 아래와 같습니다. {174,177,183,165,157} 다섯 사람의 키 입니다. 다섯사람 키의 평균은 171.4입니다. 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$\frac{(174-171.4)^2+(177-171.4)^2+(183-171.4)^2+(165-171.4)^2+(157-171.4)^2}{5}$ 일반화 시켜봅시다. 아래와 같이 원소 개수가 n개인 자료가 있습니다.

$\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ 이 자료의 평균을 m이라고 놓으면 분산은 아.. 2024. 7. 29.

[확률과 통계 기초] 3-23. 표준편차 기호가 시그마인 이유 우리는 지난시간에 표준편차가 아래와 같이 정의된다는 것을 배웠습니다.

$\sigma [X]=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 p_{i}}$ 표준편차에는 왜 그리스어 시그마를 사용하는걸까요. 표준편차는 영어로 standard deviation 입니다. 첫 글자인 s를 따서 지으려고 하다가 그리스어가 더 멋있어 보였던것 같습니다. 아니면 그리스어를 따서 이름을 붙이는 유행(?)같은게 있었을 수도 있구요. 영어 s와 발음이 같은 그리스어 시그마의 소문자

$\sigma$ 를 표준편차를 나타내는 기호로 사용하게 되었습니다. 대문자 시그마

$\sum$ 는 합의 시그마기호로 사용된다는걸 배웠었죠. 이후에 모집단과 표본을 배우게 되면 표준편차 기호가 하나 더 필요해집니다. 이때부터는 모집단.. 2024. 7. 18.

[확률과 통계 기초] 3-22. 확률변수의 분산과 표준편차 아래와 같은 확률변수 X가 있다고 합시다. 이 확률변수의 기댓값은 아래와 같이 구합니다.

$E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ 확률변수의 분산은 어떻게 구할까요. 분산의 정의를 생각해봅시다. 분산의 정의는 아래와 같았습니다 . “편차의 제곱의 평균” 확률변수에서는 이렇게 바꿔볼 수 있습니다. “편차 제곱의 기댓값” 확률변수의 기댓값은 확률변수에 각 확률을 곱해서 더하는 방식으로 구했습니다. 편차제곱의 기댓값도 같은 방식으로 정의할 수 있습니다. 아래와 같습니다 ... 2024. 7. 17.

[확률과 통계 기초] 3-21. 분산과 표준편차 분산과 표준편차가 무엇인지는 중학교 수학에서 배웠습니다. 내용을 잊으신 분들을 위해 분산과 표준편차가 무엇인지 복습하겠습니다. 아래와 같은 자료가 있다고 합시다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 사람들은 자료를 요약하고 싶었습니다. 자료를 요약하기 위해 자료를 대표하는 값(대푯값)과 자료가 흩어진 정도(분산도)를 정의하고 싶었습니다. 가장 많이 사용되는 대푯값은 평균이고 분산도는 분산입니다. 위 자료의 평균은 아래와 같이 구합니다.

$\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10}$ 자료의 흩어진 정도를 나타내기 위해 사람들이 처음 생각한 것은 편차였습니다. 편차는 (변량-평균)입니다. 각 값들이 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 이용해서 분산도를 정의하려고 한 것입니.. 2024. 6. 26.

[확률과 통계 기초] 3-20. 합의 시그마 기호 설명 아래와 같은 시그마 기호를 많이 보셨을겁니다.

$\sum$ 이 기호에 아직 익숙하지 않은 분들이 계실 수도 있어서 오늘은 시그마 기호를 설명드리겠습니다. 시그마 기호는 우리를 편하게 해주기 위해 고안되었습니다. 과거도 돌아가서 다른 유니버스를 산다고 해도 반드시 등장했을 기호일겁니다. 수학에서 아주 자주 사용되므로 익숙해지는 것이 좋습니다. 아래 식을 봅시다. 1부터 10까지 더하는 식입니다. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 이 정도는 손으로 다 써도 힘들지 않습니다. 만약 1부터 100까지 더하는 식을 표현하고 싶다고 합시다. 어떻게 쓰실건가요? 저라면 이렇게 쓸 것 같습니다. 1+2+...+99+100 이번에는 다른 예시를 들어봅시다. 1부터 시작해서 3씩 커지는 숫자를 30개 더하고 싶.. 2024. 6. 21.

[확률과 통계 기초] 3-19. 기댓값과 평균은 같을까 다를까? 우리는 평균을 먼저 배웠습니다. 아마 초등학교 시절에 배웠던 것으로 기억합니다. 평균은 모든 값을 더해서 전체 개수로 나눈 것입니다. 고등학교에 가면 평균에 세 종류가 있다는 것을 배웁니다. 산술평균, 기하평균, 조화평균입니다. 우리가 흔히 평균이라고 말하는 것은 산술평균입니다. 본 강의에서는 편의상 산술평균을 평균이라고 부르겠습니다. 우리는 지난시간까지 기댓값이라는 것을 배웠습니다. 기댓값을 공부하며 평균과 비슷하다는 생각이 드셨을겁니다. 동전 던지기 내기를 한번 생각해봅시다. 앞면이 나오면 500원 뒷면이 나오면 1000원을 받습니다. 얼마를 기대할 수 있었나요? 750원입니다. 이번에는 다른 상황을 생각해봅시다. 두 사람 철수와 영희가 있는데 한 사람은 1000원을 가지고 있고 다른 사람은 50.. 2024. 6. 21.

[확률과 통계 기초] 3-18. 이산확률변수의 기댓값 우리가 지금까지 배운 이항분포는 이산확률변수에 속합니다. 지난시간에 배웠던 이항분포의 기댓값 개념을 이산확률변수로 확장해보겠습니다. 아래와 같은 이산확률변수 X가 있다고 합시다. X

$x_{1}$

$x_{2}$ ...

$x_{n-1}$

$x_{n}$ P(X)

$p_{1}$

$p_{2}$ ...

$p_{n-1}$

$p_{n}$ 이 이산확률변수의 기댓값을 구해봅시다. 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 확률변수 X의 기댓값 =

$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n-1}p_{n-1}+x_{n}p_{n}$ 기댓값은 각 확률변수 값과 해당 확률을 곱한 후, 이를 모두 더하여 구하는 것입니다. 시그마 기호를 이용하여 아래와 같이 간단히 나타낼 수도 있습니다. 확률변수 X의 기댓값 = $\sum.. 2024. 6. 19.

[확률과 통계 기초] 3-17. 이항분포의 기댓값 지난시간에 살펴본 이항분포 예시를 다시 가져와봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다.

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 여기서 한가지 질문을 던질 수 있습니다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 자유투가 몇번정도 들어갈 것이라고 기대할 수 있을 것인가? 라는 질문입니다. 이 질문에 답하기 위해 조금 더 간단한 상황을 가정해보겠습니다. 우리가 동전을 하나 던져서 앞면이 나오면 100원을, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 한다고 해봅시다. 동전을 하나 던질 때 얼마를 받을 것으로 기대할 수 .. 2024. 6. 19.

[확률과통계 기초] 3-16. 이항분포 예시 지난시간에 이항분포가 무엇인지 배웠습니다. 이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포이고, 분포함수는 아래와 같습니다.

$p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$ 이번시간에는 이항분포의 예시를 알아봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다.

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 자유투는 0번부터 5번까지 성공할 수 있습니다. 각각의 확률을 표로 나타내보면 아래와 같습니다. 값을 계산해보면 아래와 같습니다. 그래프로 그려보면 아래와 같습니다... 2024. 5. 13.

[확률과통계 기초] 3-15. 이항분포 수식 자세한 설명 이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포라는 것을 지난시간에 배웠습니다. 이항분포의 확률분포함수도 아래와 같다는 것을 배웠습니다.

$p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$ 위 식의 유도과정을 자세히 다루지는 않았는데요. 어떻게 위 식이 유도된건지 이해하지 못한 분들이 계실 수도 있어서 이번 시간에 자세히 설명하겠습니다. 1. 예시아주 간단한 예시를 이용해서 위 식을 이해해봅시다. 주사위 던지기 예시입니다. 주사위를 한번 던져서 3이 나오는 사건을 '성공' 나머지를 '실패'라고 두겠습니다. 주사위를 한번 던지는 시행에서 성공할 확률과 실패할 확률은 아래와 같습니다. 성공확률 =

$\frac{1}{6}$ 실패확률 =

$\frac{5}{6}$ 주사위 .. 2024. 4. 24.

[확률과통계 기초] 3-14. 베르누이분포에서 이항분포로 시행의 결과가 성공과 실패 두가지인 시행을 베르누이 시행이라고 부릅니다. 예를 들면 동전던지기가 있습니다. 동전던지기 시행의 결과는 앞면과 뒷면 두가지입니다. 앞,뒤 앞면을 성공, 뒷면을 실패로 놓는다면 동전던지기는 베르누이시행입니다. 앞(성공),뒤(실패) 어떤 베르누이 시행의 성공 확률이 p이고 실패확률이 1-p 이라고 합시다. 이 베르누이 시행을 n번 반복한다고 합시다. 각 시행은 독립시행이라고 가정하겠습니다(독립시행이 무엇인지는 2-9강에서 배웠습니다). 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 x번 나올 확률은 아래와 같습니다.

$_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$

$_nC_x$ 는 n번 중 성공이 x번 나오는 경우의 수 입니다.

$p^x(1-p)^{n-x}$ 은 성공이 x번 나오고, .. 2024. 2. 21.

[확률과통계 기초] 3-13. 이항분포 배우기 전에 베르누이분포 먼저 우리는 지난시간에 이항분포에서 '이항'이 어떤 의미인지 배웠습니다. 이항은 두개의 항이라는 뜻입니다. 이항분포가 무엇인지 배울 차례인데요. 그 전에 베르누이분포를 먼저 배우겠습니다. 이유는 다음 강의에서 알게되실겁니다. 시행과 사건 기억하시나요? 세번째 시간에 배웠던 시행, 표본공간, 사건의 정의를 가져옵시다. 시행 : 무한히 반복될 수 있고, 잘 정의된 결과 집합을 갖는 행위 표본공간 : 어떤 시행에서 발생할 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합 사건 : 어떤 시행의 결과들의 집합. 확률이 할당되어 있음. 표본공간의 부분집합. 시행,표본공간,사건을 쉽게 기억하는 방법은 주사위 던지기 예시로 기억하는 것입니다. 시행은 주사위던지기이고, 표본공간은 1부터6 까지의 집합이고, 사건은 짝수의 눈이 나오.. 2024. 1. 3.

[확률과통계 기초] 3-12. 이항분포에서 '이항' 이 무슨 뜻일까 이번 시간부터 이항분포를 공부할 것입니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉘는데, 이항분포는 이산확률분포에 속합니다. '이항'이라는 말을 들으셨을 때 어떤 것이 떠오르셨나요? 방정식이 떠오르셨을 겁니다. 방정식에서 항을 옮기는 것을 '이항'이라고 불렀으니까요. 이항분포의 '이항'은 방정식의 '이항'과 다른 의미입니다. 방정식에서의 이항은 영어로 transposition 이고, 한자로 移項 인데 이동할 (이), 항 (항) 입니다. 이항분포에서 이항은 영어로 binomial 이고, 한자로 二項 입니다. 두개의 항이라는 뜻입니다. 따라서 이항분포를 직역하면 '두개의 항으로 된 분포'라는 뜻입니다. 두개의 항으로 된 분포라는게 어떤 의미인지는 다음시간 부터 알아봅시다. https://www.y.. 2023. 12. 27.

[확률과통계 기초] 3-11. 우리가 배울 두가지 분포 우리는 확률분포를 배우고 있습니다. 확률분포가 두가지로 나눈다는 것도 배웠는데요. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 이산확률분포와 연속확률분포에는 여러가지가 있습니다. 대표적인 분포들은 아래와 같습니다. 이산확률분포 : 이항분포, 기하분포, 음이항분포, 포아송분포, 초기하분포, 다항분포연속확률분포 : 균등분포, 정규분포, t분포, 카이제곱분포, F분포, 감마분포, 베타분포 뭐가 이렇게 많은건가 싶으실텐데 다 사용되는 분포입니다. 각각의 분포가 어떤 상황에 사용되는지 궁금하신 분들은 [손으로 푸는 확률분포] 강의를 들어보시면 됩니다. 이 강의는 확률과 통계 기초 강의이므로 이산확률분포와 연속확률변수 중에서 각각 하나씩만 배웁니다. 이산확률분포에서는 이항분포, 연속확률분포에서는 정규분포를.. 2023. 12. 20.

[확률과통계 기초] 3-10. P[X=x] 와 p(x)의 차이 확률변수 X의 확률질량함수의 정의는 아래와 같습니다.

$P\left [ X=x_{i} \right ]=p_{i} \ \ (i=1,2,...,n)$ 위 식의 좌변에서 P[ ] 는 대괄호 안의 사건이 발생할 확률을 나타냅니다. 좌변은

$X=x_{i}$ 일 확률이라는 뜻입니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 한번 던질 때 나오는 눈의 값을 확률변수 X라고 한다면, X의 확률질량함수는 아래와 같습니다.

$P\left [ X=x \right ]=\frac{1}{6} \ \ (x=1,2,...,6)$ 위와 같은 표현을 더 간단히 나타낼 수 있습니다. 함수이름를 사용하는 것입니다. 함수 이름은 원하는 것을 사용하면 되는데 주로 p나 f를 사용합니다. 확률변수 X의 확률질량함수를 p(x)라고 한다면, p(x)의 의미는 '.. 2023. 12. 8.

[확률과통계 기초] 3-9. 확률질량함수의 성질 이산확률변수 X의 확률질량함수는 아래와 같습니다.

$P\left [ X=x_{i} \right ]=p_{i} \ \ (i=1,2,...,n)$ 이번시간에는 확률질량함수의 세가지 성질을 알아봅시다. 확률은 0이상 1이하의 값을 가지므로 아래와 같은 조건이 성립합니다. (1)

$0\leq p_{i} \leq 1$ 각 사건이 발생할 확률의 총 합은 1이므로 아래 조건이 성립합니다. (2)

$p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$ 이번에는 확률변수 X가 어떤 범위 내에 있을 확률을 구해봅시다. X가

$x_{3}$ 이상이고

$x_{5}$ 이하일 확률은 아래와 같습니다.

$P\left [ x_{3}\leq X\leq x_{5} \right ]=p_{3}+p_{4}+p_{5}$ 위 식을 일반화시키면 아래와 같.. 2023. 11. 15.

[확률과통계 기초] 3-8. 확률질량함수 (이산확률변수의 확률함수) 우리는 확률변수가 둘로 나뉜다는 것을 배웠습니다. 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수 두 가지로 구분됩니다. 이산확률변수는 확률변수 각각이 확률값을 갖습니다. 연속확률변수는 어떤 구간의 확률만 정의가 가능했습니다. 이산확률변수와 연속확률변수의 확률함수는 정의가 다릅니다. 이산확률변수의 확률함수는 확률질량함수이고 연속확률변수의 확률함수는 확률밀도함수입니다. 이번 시간에는 이산확률변수의 확률함수인 확률질량함수에 대해 배워봅시다. 간단한 예시를 통해 확률질량함수가 무엇인지 알아봅시다. 주사위를 한번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 X라고 놓으면 X는 이산확률변수입니다. 확률함수는 확률변수를 확률과 대응시킨 것을 말합니다. 확률변수 X의 확률함수는 표로 나타낼 수도 있고 그래프로 나타낼 수도 있습니다. 먼저.. 2023. 11. 15.

[확률과통계 기초] 3-7. 연속확률변수에서 확률이 정의되지 않는 이유 이산확률변수에서는 변수가 가질 수 있는 값의 개수가 무한한데도 변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 경우가 있었습니다. 아래와 같이 확률변수가 커지면 확률이 0으로 수렴하는 경우가 대표적인 예시입니다.

$P\left [ X=x \right ]=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$ 연속확률변수도 확률변수가 가질 수 있는 값의 개수가 무한합니다. 이산확률변수와 달리 연속확률변수에서는 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 확률이 항상 정의되지 않습니다. 왜 그런지 같이 생각해봅시다. 연속확률변수가 확률을 갖는다고 가정하고 아래와 같은 그래프를 그려봅시다. 양 끝 값은 0이라고 합시다. 구간 안에 있는 값들이 발생할 확률이 0이 아닌 어떤 구간을 하나 정의합시다. 이 구간의 발생 확률의 최솟값.. 2023. 8. 4.

[확률과통계 기초] 3-6. 개수가 무한한 이산확률변수 이산확률변수는 아래 두가지 특징을 갖는 확률 변수 입니다. 1) 변수가 어떤 값을 가질 확률을 정의할 수 있음 2) 변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있음 이와 같은 특징을 보고 나면 이산확률변수가 될 수 있는 값들의 개수가 반드시 유한할 것이라고 생각할 수 있습니다. 주사위를 던질 때 나오는 눈의 값을 확률변수로 하는 경우나, 동전을 두번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수로 하는 경우와 같이 많은 경우 확률변수가 될 수 있는 값의 개수가 유한한 것은 맞습니다. 하지만 개수가 무한한 경우도 있습니다. 오늘은 이산확률변수가 될 수 있는 값들의 개수가 무한한 예시를 하나 살펴봅시다. 이산확률변수가 모든 자연수 값을 가질 수 있다고 합시다. 이때 각 값이 발생할 확률을 아래와 같이 정의하겠습니다. $P\l.. 2023. 7. 24.

[확률과통계 기초] 3-5. 두 종류의 확률변수 (이산, 연속) 우리는 두 종류의 확률변수가 있다는 사실을 알게되었습니다. 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 존재하는 확률변수가 있었고 그렇지 않은 확률변수가 있었습니다. 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 확률변수의 예시로는 '동전을 두 번 던질 때 나오는 앞면의 개수'가 있습니다. 이 확률변수를 X라고 놓고, X가 가질 수 있는 값을 집합으로 나타내면 아래와 같습니다.

$X=\left \{0,1,2 \right \}$ 이러한 확률변수를 '이산확률변수'라고 부릅니다. 확률변수가 어떤 값을 가질 확률이 정의되는 확률변수들을 모아보니 이런 특징이 있었습니다. "확률변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있음." 이 특징을 이산확률변수의 정의로 사용합니다. 이산확률변수 : 확률변수가 될 수 있는 값들을 셀 수 있는 확률변.. 2023. 7. 17.

[확률과통계 기초] 3-4. 확률이 정의되지 않는 확률변수 어떤 확률변수 X가 있구요. 이 확률변수는 1부터 3까지의 실수 구간에 있는 값을 가질 수 있다고 하겠습니다.

$1\leq X \leq 3$ 위 구간의 값이 발생할 확률이 같다고 가정하고 아래 확률을 한번 구해봅시다.

$P\left [ X=1 \right ]$ 위 확률을 p라고 놓으면 전체 확률은

$p \times \infty$ 가 됩니다. 전체 확률이 무한대이므로 모순입니다. 따라서 확률을 정의할 수 없습니다. 이번에는 아래 확률을 한번 구해봅시다.

$P\left [ 1\leq X \leq 2 \right ]$ 확률은 0.5입니다. 전체 구간 중 절반이기 때문입니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 발생할 확률은 정의가 가능했는데, 오늘 살펴본 확률변수는 각 값이 발생할 확률을 정의할 수 없었습니다. 구간의.. 2023. 7. 9.

[확률과통계 기초] 3-3. 확률함수와 확률분포 우리가 계속 사용하고 있는 동전 두개 던지는 예시를 가져옵시다. 동전을 두개 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수로 놓을 수 있었습니다. 확률변수를 X로 놓으면 X가 가질 수 있는 값은 아래와 같습니다. X={0,1,2} 확률변수 X가 각 값을 가질 확률은 아래와 같습니다.

$P[X=0]=\frac{1}{4}$

$P[X=1]=\frac{1}{2}$

$P[X=2]=\frac{1}{4}$ 확률변수 X가 가질 수 있는 값들과, 각 값을 가질 확률 사이에 대응관계가 존재합니다. 이 대응관계를 표로 나타내면 아래와 같습니다. X 0 1 2 합계

$P[X=x]$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$ 1 이와 같은 대응관계를 '확률분포'라고 부릅니다. 이 대응관계를 p(x)라는 .. 2023. 7. 2.

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