[확률과 통계 기초] 3-28. 연속확률변수의 누적분포함수

연속확률변수에서는 구간의 확률만 정의할 수 있고 개별 값에 대한 확률은 정의되지 않았습니다. 개별 값의 확률이 0이기 때문입니다.

 

그럼 연속확률변수에서는 확률과 관련된 함수를 정의할 수 없는걸까요. 연속확률변수에서 구간의 확률을 정의할 수 있다는 성질을 이용하면 함수를 정의할 수 있습니다.

 

지난시간에 사용하던 예시를 가져옵시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 으로 바뀌는 약이 있다고 합시다. 각 몸무게가 될 가능성은 동일합니다. 이때 약을 먹고 몸무게가 60이상 $x$ 이하가 될 확률을 정의할 수 있습니다.

 

$$P[60 \leq X \leq x]$$

 

확률은 얼마일까요? 위 구간의 길이인 $x-60$ 을 전체 길이인 40으로 나눠주면 됩니다. 아래와 같습니다.

 

$$P[60 \leq X \leq x]=\frac{x-60}{40}$$

 

위 확률은 x까지 누적된 확률값을 계산해주는 함수입니다. 이런 함수를 누적분포함수라고 부릅니다. 일반적으로 아래와 같이 나타냅니다.

 

$$P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$$

 

확률변수 X가 x보다 작을 확률입니다. 영어로는 Cumulative Distribution Function(CDF)라고 부릅니다.

일반화 시켜 봅시다. 구간이 $a\leq X \leq b$ 인 확률변수가 있다고 합시다. 각 값이 될 가능성은 동일합니다. 확률변수 X의 누적분포함수는 아래와 같습니다.

 

$$P[X \leq x]=\frac{x-a}{b-a} \ \ (a\leq x \leq b)$$

 

누적분포함수는 $F(x)$ 라는 기호를 사용합니다. 아래와 같습니다.

 

$$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-a}{b-a} \ \ (a\leq x \leq b)$$

 

이렇게 누적분포함수를 배웠습니다. 연속확률변수에서 누적된 확률을 나타내는 함수입니다.

 

사람들은 누적분포함수를 미분하면 어떤 새로운 함수가 나타날지 궁금해졌습니다. 그래서 누적분포함수를 미분해 보았더니, 흥미로운 결과가 나왔습니다. 이 새로운 함수에 대해 다음 시간에 알아보겠습니다.

 

 

강의 영상

https://www.youtube.com/watch?v=UtgUgfeR0ho