반응형 적률10 [통계 적률의 이해] 16. 특성함수가 항상 존재하는 이유 적률생성함수가 존재하지 않는 경우에는 특성함수를 사용할 수 있습니다. 특성함수는 모든 확률분포에 대해 존재하기 때문입니다. 오늘은 정말 그러한지를 증명해봅시다. 먼저 특성함수가 존재한다는 의미가 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 특성함수가 존재한다는 것은 t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 의미입니다. 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itx} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ .. 2022. 9. 23. [통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기 지난시간에 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 왜도를 계산해보려고 합니다. 왜도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}$ $\mu_{2}$ 는 2차 중심적률, $\mu_{3}$는 3차 중심적률입니다. 중심적률생성함수를 한번 미분합시다. $\frac{dM_{x-\mu}(t)}{dt}=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{2}t$ 한번 더 미분합시다. $\frac{d^{2}M_{x-\mu}(t)}{dt^{2}.. 2022. 5. 25. [통계 적률의 이해] 10. 정규분포의 중심적률생성함수 지난 시간에 우리는 정규분포의 적률생성함수를 이용하여 평균과 분산을 구했습니다. 우리가 구했던 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 이제 왜도를 구할 차례인데요. 1,2,3차 적률을 이용하여 왜도를 구하는 방법은 아래와 같습니다. $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ 중심적률을 이용하면 훨씬 간단하게 구할 수 있었습니다. $\gamma _{1}=\frac.. 2022. 5. 24. [통계 적률의 이해] 6. 적률생성함수란? 적률생성함수는 영어로 moment generating function 입니다. 줄여서 MGF라고 부르는데요. 말 그대로 적률을 생성해주는 함수입니다. 어떤 적률을 생성해주는걸까요? 우리는 지난시간까지 세가지 종류의 적률을 배웠습니다. - 적률 - 중심적률 - 표준화적률 적률생성함수는 이들 중 '적률'을 생성합니다. 물론 적률은 적분을 통해서 구할 수 있습니다만, 적률생성함수를 한번 구해놓으면 n차 적률을 아주 쉽게 구할 수가 있습니다. 아주 기발한 방법입니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]$ 연속확률변수라면 아래와 같이 구할 수 있습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\i.. 2021. 9. 16. [통계 적률의 이해] 5. 적률들 한눈에보기 우리는 지금까지 세가지 적률을 공부했습니다. 적률, 중심적률, 표준화적률입니다. 세 적률이 통계량인 평균,분산,왜도,첨도와 어떤 관계가 있는지도 공부했습니다. 지금까지 배운 내용들을 표로 정리해봅시다. 이름 기호 정의 기댓값 형태 통계량과의 관계 적률 $\mu_{n}'$ $\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ $E\left [ X^{n} \right ]$ 평균 = $\mu_{1}'$ 중심적률 $\mu_{n}$ $\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$ $E\left [ \left ( X-\mu \right )^{n} \right ]$ 분산 = $\mu_{2}$ 표준화적률 $\tilde{\mu}_{n}$ $\frac{\mu_{n}}{\sigma^.. 2021. 9. 9. [통계 적률의 이해] 4. 표준화적률과 평균,분산,왜도 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 6. 정률생성함수는 어디다 쓸까? 7. 정규분포의 적률생성함수 적률과 중심적률을 배운 상태입니다. 적률과 중심적률의 정의는 아래와 같습니다. $\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$ 평균, 분산, 왜도를 적률과 중심적률을 이용하여 표현해보았습니다. 평균은 1차 적률입니다. $mean=\mu'_{1}$ 분산은 2차 중심적률입니다. $Variance=\mu_{2}$ 왜도는 2차 중심적률과 3차 중심적률을 이용하여 표현할 수 있습니다. $Skewness=\frac{ \mu_{3} }{\mu_.. 2021. 8. 20. [통계 적률의 이해] 3. 중심적률과 평균,분산,왜도 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난시간에는 적률을 이용해서 평균,분산,왜도를 표현해보았습니다. 아래와 같습니다. $E(X)=\mu'_{1}$ $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2}$ $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ $\mu'_{1}$ 은 1차적률, $\mu'_{2}$ 는 2차적률입니다. 분산 까지는 괜찮은데 왜도는 상당히 .. 2021. 8. 18. [통계 적률의 이해] 2. 통계에서의 적률과 평균,분산,왜도 목차 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난 시간에 배운 n차 적률의 수학적 정의는 아래와 같습니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$ 통계에서 '적률'이라고 하면 c=0 인 적률을 말합니다. 위첨자를 붙여서 사용합니다. $\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ 통계에서는 적률 외에도 '중심 적률'과 '표준화 적률'도 정의해서 사용합니다. 다음 시간에 배우기로 하고 오늘은 적률을 공부해봅시다. 1차 적률 1차 적률을 구해보면 아래와 같습니다. $\mu'_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 평균의 정의와 같습니다. 따라서 1차 적.. 2021. 8. 16. [왜도의 이해] 4. 왜도와 적률 1. 왜도란 무엇인가? 2. 피어슨의 정의 3. 왜도의 부호 4. 왜도와 적률 5. 왜도와 누율 6. 평균, 중앙값, 최빈값의 위치 7. 왜도 0이면 항상 대칭일까? 8. 표본의 왜도 9. 또 다른 정의들 오늘은 왜도와 적률의 관계를 알아봅시다. 적률의 정의는 아래와 같습니다. 더 정확히 말하면 n차 적률의 정의입니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$ 적률이 통계에서 사용되는 몇가지 예를 들어봅시다. n이 1이고 c가 0이면 적률은 아래와 같습니다. $\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 위 값은 평균입니다. $\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=E(X)$ n이 2이고, c가 평균 .. 2021. 8. 10. [통계 적률의 이해] 1. 적률이 뭔가요? 목차 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 적률은 수학에서 정의된 개념입니다. 함수의 모양을 수학적으로 표현하는 하나의 척도입니다. 수학에서 정의된 적률이 물리학과 통계학에서 사용되는 것입니다. 처음부터 의도한 것은 아니지만 만들어 놓고 보니 적률이 물리적인, 통계적인 어떤 개념과 일치했던 것입니다. 물리학에서는 질량(0차적률), 질량중심(1차적률), 관성모멘트(2차적률)로 사용됩니다. 통계학에서는 평균(1차적률), 분산(2차적률), 왜도(3차 적률), 첨도(4차 적률)로 사용됩니다. 더 정확이 이야기하면, 결과적 일치라고 할 수 있습니다. 수학에서 적률을 정의하고 그 후에 물리와 통계에서 가져다 썼다고 보는 것은 이해의 편의를 위한 해석에 가깝습니다... 2019. 9. 21. 이전 1 다음 반응형
