[왜도의 이해] 4. 왜도와 적률

1. 왜도란 무엇인가?
2. 피어슨의 정의
3. 왜도의 부호
4. 왜도와 적률
5. 왜도와 누율
6. 평균, 중앙값, 최빈값의 위치
7. 왜도 0이면 항상 대칭일까?
8. 표본의 왜도
9. 또 다른 정의들

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오늘은 왜도와 적률의 관계를 알아봅시다. 

 

적률의 정의는 아래와 같습니다. 더 정확히 말하면 n차 적률의 정의입니다. 

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$

 

적률이 통계에서 사용되는 몇가지 예를 들어봅시다. n이 1이고 c가 0이면 적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

 

위 값은 평균입니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=E(X)$

 

n이 2이고, c가 평균 $\mu$ 이면 적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx$

 

위 값은 바로 분산입니다.

 

$\mu_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx=E\left [ \left ( x-\mu \right )^2 \right ]=V(X)$

 

통계에서는 표준화된 적률(standardized moment)를 정의합니다. 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\tilde{u}_{n}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx}{\sigma^{n}}$

 

평균에 대한 n차 적률을 표준편차의 n제곱으로 나눈 것입니다. 표준화된 적률을 정의하면 왜도와 첨도를 표현하기 편하기 때문에 정의한 것 같습니다. 

 

표준화된 적률의 n에 3을 넣어봅시다. 3차 표준화 적률이라고 부를 수 있습니다. 

 

$\tilde{u}_{3}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{3}f(x)dx}{\sigma^{3}}$

 

분자는 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 

 

$\tilde{u}_{3}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{3}f(x)dx}{\sigma^{3}}=\frac{E\left [ \left ( x-\mu \right )^3  \right ]}{\sigma^{3}}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\tilde{u}_{3}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{3}f(x)dx}{\sigma^{3}}=\frac{E\left [ \left ( x-\mu \right )^3  \right ]}{\sigma^{3}}=E\left [ \left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^3 \right ]$

 

왜도의 정의와 같습니다. 

 

$\tilde{u}_{3}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{3}f(x)dx}{\sigma^{3}}=\frac{E\left [ \left ( x-\mu \right )^3  \right ]}{\sigma^{3}}=E\left [ \left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^3 \right ]=\gamma _{1}$

 

따라서 왜도는 3차 표준화 적률입니다.