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[확률과 통계 기초] 3-47. 정규분포의 그래프 지난 시간에 우리는 가우스가 정규분포를 유도한 과정을 살펴봤습니다. 직접 유도하는 것은 기초강의의 수준을 넘어가기 때문에 과정만 간단히 알아보았습니다. 가우스가 유도한 정규분포의 수식은 아래와 같습니다. $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-m) ^2}{2\sigma^2}} $$ 오늘은 이 수식의 그래프를 그려보겠습니다. 수식의 의미는 다음시간에 자세히 다뤄보도록 할게요. 처음부터 위 함수를 그리기는 너무 어렵습니다. 가장 단순한 형태부터 출발합시다. 가장 단순한 형태는 아래와 같습니다. $$ f(x)=e^{-x^2} $$ 이 함수는 자연상수 e를 밑으로 하는 지수함수입니다. e는 약 2.7정도의 값을 갖는 무리수입니다. 위 함수의 형태를 대략적으로 .. 2026. 1. 24.
[확률과 통계 기초] 3-46. 정규분포의 발견 (3) 오차의 분포로 부터 우리는 정규분포가 발견된 경로가 두 가지 있다는 것을 배웠습니다. 하나는 이항분포를 통한 발견입니다. 드무아브르와 라플라스는 이항분포에서 n을 무한대로 보내면, 이항분포가 표준정규분포에 수렴한다는 것을 증명했습니다. 다른 하나의 경로는 가우스가 발견했습니다. 이번 시간에는 가우스가 정규분포를 발견한 과정을 알아봅시다. 우리가 어떤 대상을 측정하는 상황을 생각해봅시다. 아무리 정밀하게 측정하려고 해도, 측정할 때마다 결과가 미세하게 달라질 것입니다. 이는 측정오차 때문입니다. 가우스는 이 측정오차의 분포를 구하고 싶었습니다. 어떤 대상을 측정하는 상황을 수식을 이용하여 표현해보겠습니다. 우리가 어떤 대상의 길이를 n번 측정했을 때, 측정 결과는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $x_{1}$, $x_{2.. 2025. 12. 26.
[확률과 통계 기초] 3-45. 정규분포의 발견 (2) 이항분포로 부터 1738년, 드무아브르는 n이 무한히 커지면, p=1/2 일때 이항분포가 종 모양의 곡선에 가까워져 간다는 것을 증명했습니다. 이 종 모양의 곡선이 표준정규분포입니다. 1812년 라플라스는 p를 0과 1 사이로 일반화시켰습니다. 동전던지기 예시를 가지고 이항분포에서 n이 커질 때, 종 모양의 곡선이 되는지 시험해봅시다. 동전던지기 예시의 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_nC_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\left( \frac{1}{2} \right)^{n-x} $$ 동전을 세번 던질때 확률분포를 그래프로 그려봅시다. 동전을 세번 던질 때 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_3C_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\.. 2025. 11. 22.
[확률과 통계 기초] 3-44. 정규분포의 발견 (1) 프롤로그 우리는 확률 분포를 배우고 있습니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 이산확률 분포 중에서 대표적인 두가지 분포를 배운 상태입니다. O 이산확률분포 - 베르누이분포 - 이항분포 베르누이 분포는 시행의 결과가 성공, 실패 두가지인 베르누이 시행을 한번 한 결과의 분포입니다. 성공은 X=1, 실패는 X=0 으로 뒀을 때 X의 분포입니다. 동전던지기가 대표적인 베르누이 시행입니다. 앞면을 성공, 뒷면을 실패로 두면 동전 던지기 시행의 결과는 성공(앞면)과 실패(뒷면) 두가지 중 하나입니다. 베르누이 분포를 일반화 시켜보면, 성공 확률이 p인 시행을 한번 했을 때의 분포입니다. 이항분포는 베르누이 시행을 여러번 반복했을 때의 분포입니다. 각 시행은 서로 독립적이라는 조.. 2025. 11. 17.
[확률과 통계 기초] 3-43. 가능성이 변하는 연속확률변수의 확률함수 이전 글에서 ‘가능성이 변하는 연속확률변수’에 대해 이야기한 적이 있습니다. 몸무게가 변하는 약 예시였는데요. 먹으면 몸무게가 60~100kg 으로 랜덤하게 변하는 약이 있을 때, 60kg으로 변할 가능성이 가장 작고 100kg에 가까워질 수록 가능성이 커진다고 가정했습니다. 약을 먹고 변한 몸무게를 확률변수 X라고 놓았을 때, X의 확률함수는 무엇인가? 라는 의문이 있었지만 해결하지 못했었습니다. 이제 우리는 확률밀도함수가 무엇인지 배웠으니, 위 예시를 수식으로 표현할 수 있습니다. 먼저 확률밀도함수를 아래와 같이 그릴 수 있습니다. 가능성은 직선형태로 증가한다고 가정하겠습니다. 이제 a와 b를 구해야 합니다. 전체 확률이 1이 되어야 하므로 아래 그림의 넓이 S가 1이어야 합니다. 아래 그림처럼 .. 2025. 10. 16.
[확률과 통계 기초] 3-42. 균등분포의 평균, 분산, 표준편차 우리는 연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 방법을 배운 상태입니다. 어떤 연속 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x) 라고 했을 때 평균, 분산 표준편차는 아래와 같이 계산합니다. $$ E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ $$ V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2f(x)dx $$ $$ \sigma[X]=\sqrt{V[X]} $$ 이제 우리가 배운 개념을 균등분포에 적용해봅시다. [a,b]에서 정의된 균등분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. $$ f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & otherwise \\\end{matrix}\right. $$ 평균을 먼저 .. 2025. 10. 7.
[확률과 통계 기초] 3-41. 연속확률 분포 적분구간을 무한대로 해도 되는 이유 연속확률분포의 기댓값 수식을 살펴봅시다. 연속확률분포의 기댓값 : $\int_{a}^{b}xf(x)dx$ 위 확률분포는 $[a,b]$에서 정의된 확률분포입니다. 그 외의 값은 0입니다. 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 모양은 임의로 표현했습니다. $[a,b]$ 이외 구간에서 $f(x)$의 값은 0입니다. 따라서 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분을 해도 나머지 구간의 적분값은 0이 나오므로 $[a,b]$에서 적분한 것과 결과가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $$ \int_{a}^{b}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ 확률밀도함수를 적분하여 평균이나 분산을구할 때, 구간을 $[-\infty, \infty]$ 로 설정해주면 됩니.. 2025. 9. 4.
[확률과 통계 기초] 3-40. 구간 표현 익히기 [a,b] (a,b) 오늘은 a≤x≤b 와 같은 구간을 간단하게 나타내는 표현방법을 배워보겠습니다. 자주 사용할 방법인데 생소하신 분들이 계실 수 있어서 한번 설명하고 넘어가려고 합니다. 확률변수 X가 a이상 b이하에서 정의되어 있다고 설명하고 싶을 때, 아래와 같은 기호를 이용하여 간단히 나타낼 수 있습니다. “확률변수 X가 [a,b] 에서 정의되어 있다.” [a,b] 는 a≤x≤b 와 같은 의미입니다. 이런 구간을 닫힌구간이라고 부릅니다. 닫힌구간이라고 부르는 이유는 양 끝점이 구간에 포함되어 있기 때문입니다. 시각적으로 나타내보면 더 쉽게 이해할 수 있습니다. ●————————● (끝점이 채워짐) 닫힌 구간이 있다면 열린 구간이 있겠죠? 열린 구간은 a○————————○ (끝점이 열려있음) a https://ww.. 2025. 8. 30.
[확률과 통계 기초] 3-39. 연속확률분포의 분산과 표준편차 지난시간에 연속확률분포의 기댓값을 구했습니다. 이산확률분포의 기댓값과 연관지어 구했었고 두 분포의 기댓값은 아래와 같습니다. 이산확률분포의 기댓값 : $\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ 연속확률분포의 기댓값 : $\int_{a}^{b}xf(x)dx$ 이산확률분포 기댓값 수식에서 p 대신 f(x)dx 를 넣고, 시그마 대신 적분 기호를 쓰면 연속확률분포의 기댓값이 됩니다. 연속확률분포의 분산과 표준편차도 같은 방법으로 구해봅시다. 먼저 이산확률변수의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. m 은 기댓값입니다. 이산확률분포의 분산 : $\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-m \right )^2 p_{i}$ 연속확률분포의 분산은 아래와 같이 구합니다. 위 식에서 p 대신 f(x).. 2025. 7. 31.
[확률과 통계 기초] 3-38. 연속확률분포의 기댓값 우리는 지난 시간에 연속확률분포의 일종인 균등분포를 배웠습니다. 균등분포를 요약하는 통계량인 기댓값과 분산을 구할 차례입니다. 그 전에 연속확률분포의 기댓값과 분산을 구하는 방법을 먼저 배우고, 균등분포에 적용해보겠습니다. 우리는 이미 확률분포의 기댓값과 표준편차를 구한 적이 있습니다. 이산확률분포의 기댓값과 표준편차를 구했었습니다. 이산확률분포의 기댓값을 구할 때 어떻게 구했었는지 떠올려봅시다. 확률변수 X의 이산확률분포는 아래와 같은 표로 나타낼 수 있습니다. x$x_{1}$$x_{2}$...$x_{n}$p(x)$p_{1}$$p_{2}$...$p_{n}$이산확률분포의 기댓값은 각 확률변수와 확률을 곱해서 전부 더한 값이었습니다. 아래와 같습니다. $ E[X]=x_{1}p_{1}+\cdots +x_{.. 2025. 7. 30.
[확률과 통계 기초] 3-37. 균등분포 확률분포는 확률변수와 확률의 대응관계입니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 대표적인 이산확률분포인 베르누이분포와 이항분포를 배웠습니다. 오늘부터는 연속확률분포에 대해 공부하려고 합니다. 오늘 우리가 배울 연속확률분포는 균등분포입니다. 균등분포는 이름에서도 알 수 있듯 분포가 ‘균등’한 분포입니다. 모든 확률변수가 동일한 확률밀도를 갖습니다. 어떤 연속확률변수 X가 $a \leq X \leq b$ 에서 정의되어 있다고 한다면, X가 a~b 사이 값을 가질 확률밀도가 모두 동일한 분포가 균등분포입니다. 균등분포를 그래프와 수식으로 나타내봅시다. 먼저 그래프입니다. x축이 확률변수, y축을 확률 밀도인 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 확률밀도값은 얼마여야 할까요? 확률밀도.. 2025. 7. 29.
[확률과 통계 기초] 3-36. 우리가 공부할 연속확률분포들 우리는 확률분포를 공부하고 있습니다. 확률분포는 확률변수가 확률과 어떻게 대응되어 있는지를 나타냅니다. 확률분포는 두 가지로 나뉘었는데요. 이산확률분포와 연속확률분포입니다. 확률분포 - 이산확률분포 - 연속확률분포 우리는 대표적인 이산확률분포인 베르누이분포와 이항분포를 배웠습니다. 베르누이분포는 시행의 결과가 성공과 실패 두가지이고 성공이면 1, 실패면 0을 취하는 확률변수의 분포입니다. 이런 시행을 예로 들면 빨간 공과 까만 공이 섞여 있는 상자에서 공을 하나 꺼내는 시행이 있습니다. 시행 결과가 빨간 공과 까만 공 두가지 입니다. 빨간공이 나올 확률이 p이고, 빨간 공이 나온 사건을 성공이라고 합시다. 빨간 공이 나오면 1, 까만 공이 나오면 0을 취하는 확률변수 X를 정의하면, 확률.. 2025. 7. 11.
[확률과 통계 기초] 3-35. 연속확률분포 우리는 지난시간까지 확률밀도함수를 배웠습니다. 확률밀도함수는 연속확률변수의 확률함수인데요. 이번시간에는 연속확률변수의 확률분포인 연속확률분포를 배워보겠습니다. 확률함수와 확률분포의 차이가 무엇인지 기억나지 않는 분들을 위해 확률분포와 확률함수를 복습해봅시다. 확률분포는 확률변수와 확률의 대응관계를 말합니다. 표로 나타낼 수도 있고 그래프로 나타낼 수도 있고 수식으로 나타낼 수도 있습니다. 확률분포를 함수 형태의 수식으로 나타낸 것을 확률함수라고 부릅니다. 확률 분포가 더 넓고 개념적인 의미입니다. 확률함수는 수식이구요. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 연속확률변수의 확률분포가 연속확률분포이고, 이산확률변수의 확률분포가 이산확률분포입니다. 이산확률분포 먼저 살펴봅시다. 동전을 두개 던.. 2025. 6. 25.
[확률과 통계 기초] 3-34. 확률밀도함수 우리는 지난시간에 확률밀도함수를 발견했습니다. 이번시간에는 확률밀도함수와 관련된 내용들을 정리해봅시다. 확률밀도함수는 누적분포함수를 미분한 함수입니다. 수식으로 표현해봅시다. 아래는 누적분포함수입니다 $$ F(x)=P[X \leq x] $$ 누적분포함수를 미분하면 아래와 같습니다. $f(x)$가 확률밀도함수입니다. $$ \frac{d F(x)}{dx}=F'(x)=f(x) $$ 확률밀도함수를 구간 [a,b]에서 적분해 봅시다. $$ \int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a) $$ 우변은 b 까지의 확률에서 a까지의 확률을 뺀 것이므로 아래 확률과 같습니다. $$ \int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a) $$ F(b) 는 b까지의 확률이고 F(a)는 a까지의 확률이므로 F(b)-F(a).. 2025. 6. 13.
[확률과 통계 기초] 3-33. f(x)에 이름 붙이기 이번시간에는 누적분포함수 $F(x)$를 미분한 $f(x)$를 발견한 과정을 간단히 복습하고, f(x)에 이름을 붙여보겠습니다. 우리는 확률변수에 대해서 배우고 있습니다. 확률변수에는 이산확률변수와 연속확률변수가 있습니다. 이산확률변수의 예로는 “동전을 두개 던져서 앞면이 나오는 횟수” 가 있습니다. 이 확률변수를 X라고 놓겠습니다. 동전을 두개 던질 때 앞면이 나올 수 있는 횟수로는 0,1,2가 있으므로 X는 0,1,2가 될 수 있습니다. X가 될 수 있는 각 값에는 확률이 할당되어 있습니다. 예를 들어 동전을 두 개 던져서 앞면이 0번 나올 확률은 1/4 입니다. 이와 같이 이산확률변수의 각 값에는 확률과 대응되어 있습니다. 이산확률변수에서 각 가능한 값과 그 값이 일어날 확률 사이의 대응관계는 함수.. 2025. 4. 26.
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