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[확률과통계 기초] 2-7. 사건의 독립 예시 사건의 독립과 관련된 예제를 두가지 풀어봅시다. 예제1. 주사위를 던질 때 2 이하의 눈이 나오는 사건을 A, 짝수의 눈이 나오는 사건을 B라고 하자. 사건 A와 B가 서로 독립인지 판단하시오. 풀이) 사건 A와 B가 발생할 확률은 각각 아래와 같습니다. $P(A)=\frac{1}{3}$ $P(B)=\frac{1}{2}$ 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률은 아래와 같습니다. $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 가 성립하므로 두 사건은 독립입니다. 예제2. 동전 한개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때, 동전은 앞면이 나오고 주사위는 홀수가 나올 확률을 구하시오. 풀이) 이번 문제는 위 문제와 다르게 독립임을 확인하는게 아니라 독립 조건을 사용하면 됩니다. .. 2023. 5. 6.

[확률과통계 기초] 2-6. 사건의 독립 설명 표본공간 S에 두 사건 A와 B가 있습니다. 두 사건이 서로 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않는 것을 말합니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $P(A|B)=P(A)$ $P(A|B^{c})=P(A)$ $P(B|A)=P(B)$ $P(B|A^{c})=P(B)$ 첫번째 수식을 봅시다. 사건 B가 일어났을 때 A가 일어날 확률과 A가 일어날 확률이 같다는 것은 사건 B의 발생이 A의 확률에 영향을 주지 않는다는 것을 말합니다. 위 수식들은 서로 같은 수식입니다. 한 수식을 변형하여 다른 수식을 만들 수 있습니다. 첫번째 수식을 이용하여 두번째 수식을 유도해봅시다. 아래 수식에서 출발합니다. $P(A|B)=P(A)$ 좌변을 아래와 같이 변형합시다. $\frac{P(A.. 2023. 5. 2.

[통계 Q&A] 푸아송분포 문제1 (식당 손님 문제) Q) 어느 식당에 손님이 한시간에 평균 4명이 옵니다. 3시간 동안 10명 이상이 올 확률은 얼마인가요? A) 푸아송분포의 수식은 아래와 같습니다. $p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ 람다($\lambda$)는 단위시간당 평균발생횟수 입니다. 위 문제에서 단위시간을 1시간으로 놓으면 람다는 4입니다. 단위시간을 3시간으로 놓으면 람다는 12입니다. 단위시간을 3시간으로 놓고 푸아송분포를 구하면 아래와 같습니다. $p(x)=\frac{12^x e^{-12}}{x!}$ 10명 이상이 올 확률은 아래와 같습니다. $P[X \geq 10]=p(10)+p(11)+p(12)+\cdots$ 무한히 많은 항을 계산해야 합니다. 여사건의 확률을 이용합시다. 아래와 같습니다. $P[.. 2023. 4. 10.

[손으로 푸는 t검정] 5. t분포 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 t분포를 유도했습니다. 상당히 길고 복잡한 과정이었는데요. 오늘은 전체 과정을 간단히 요약하며 복습하겠습니다. Step1) t 통계량 정의 t통계량은 아래와 같이 정의됩니다. $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ Z 통계량에서 모표준편차 $\sigma$를 표본표준편차 s로 바꾼 통계량입니다. T통계량이 따르는 분포가 T분포입니다. Step2) t통계량 변형 모집단이 정규분포를 따른다는 가정을 하고, t 통계량을 아래와 같이 변형하였습니다. $t=Z\frac{1}{\sqrt{V}}\sqrt{n}$ Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. Step3) Z와 V의 결합확률밀도함수 Z와 V의 확률밀도함수.. 2023. 4. 7.

독립표본 t검정 신뢰구간 (단측검정,이분산가정) 독립표본 t검정의 신뢰구간입니다. 단측검정, 이분산가정인 경우입니다. 1. 신뢰구간 1) 95% 신뢰구간 ① 우측 꼬리인 경우 $\mu_{1}-\mu_{2} \leq \left ( \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2} \right ) + \sqrt{\frac{s^2_{1}}{N_{1}}+\frac{s^2_{2}}{N_{2}}}\cdot t_{0.95}$ $\bar{X}_{1}$은 표본 1의 평균 $\bar{X}_{2}$는 표본 2의 평균입니다. $t_{0.95}$ 는 t분포에서 누적 확률 95%에 해당되는 t값입니다. ② 좌측 꼬리인 경우 $\left ( \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2} \right ) - \sqrt{\frac{s^2_{1}}{N_{1}}+\frac{s^2_{2}}{N_{.. 2023. 4. 1.

독립표본 t검정 신뢰구간 (양측검정,이분산가정) 독립표본 t검정의 신뢰구간입니다. 양측검정, 이분산가정인 경우입니다. 1. 신뢰구간 1) 95% 신뢰구간 $ \left ( \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2} \right )- \sqrt{\frac{s^2_{1}}{N_{1}}+\frac{s^2_{2}}{N_{2}}}\cdot t_{0.975} \leq \mu_{1}-\mu_{2} \leq \left ( \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2} \right )+ \sqrt{\frac{s^2_{1}}{N_{1}}+\frac{s^2_{2}}{N_{2}}}\cdot t_{0.975}$ $\bar{X}_{1}$은 표본 1의 평균 $\bar{X}_{2}$는 표본 2의 평균입니다. $t_{0.975}$ 는 t분포에서 97.5%에 해당되는 구간의 오른쪽 t값.. 2023. 4. 1.

[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (2) 유도 우리는 지난시간에 확률변수 T를 유도했습니다. T는 아래와 같습니다. $T=Z\frac{1}{\sqrt{V}}\sqrt{n}$ 위 식에서 Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 이어서 우리는 Z와 V의 결합확률분포를 유도했습니다. 아래와 같습니다. $f_{Z,V}(z,v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}} }v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{v}{2}}$ 오늘은 위 분포를 이용해서 t분포를 유도할겁니다. 확률변수의 변수변환이라는 테크닉을 사용할 건데요. 먼저 유도 아이디어를 간단히 설명하겠습니다. 크게 두 단계로 구분됩니다.. 2023. 3. 29.

[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (1) t통계량 변형 우리가 분포를 유도해야할 확률변수는 아래와 같습니다. $\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 위 확률변수를 T라고 놓겠습니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 아래와 같이 변형합시다. 분모를 모분산으로 곱하고 나눠주었습니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\frac{s}{\sigma} }$ 우변 분모를 아래와 같이 둘로 분리해 써줍니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\frac{s}{\sigma} }$ 우변 두번째 항을 루트 안에 넣어줍니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\.. 2023. 2. 16.

[수리통계학] #42. 이변량 분포 변환 (transformation) 개념 이변량 확률변수의 변수변환이 무엇인지 먼저 간단히 알아봅시다. 두 확률변수의 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포 를 알고 있다고 합시다. 이때 다른 다른 확률변수 $Y_{1}$과 $Y_{2}$는 아래과 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=f_{1}(X_{1},X_{2})$ $Y_{2}=f_{2}(X_{1},X_{2})$ 이때 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포를 이용하여 $Y_{1}$와 $Y_{2}$의 결합확률분포를 구하는 것이 확률변수 변환입니다. 어떻게 사용되나? 우리가 확률분포를 구하고 싶은 확률변수인 $Y_{1}$이 아래와 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=g(X_{1},X_{2})$ 이변량 분포의 변환을 이용하면 Y의 확률분포함수를 구할 수 있습니다. 약간의 편법(?.. 2023. 2. 14.

[수리통계학] #41. 주변확률분포 주변확률분포는 결합확률분포로 부터 계산된 단일변량 확률분포입니다. 이산확률변수 두 확률변수 $X_{1}$ 과 $X_{2}$의 결합확률질량함수를 알고 있다고 합시다. $p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})$ 이 결합확률질량함수로 부터 $X_{1}$의 확률분포함수를 얻으려면 어떻게 해야할까요. 아래와 같이 구하면 됩니다. $p_{X_{1}}(x_{1})=\sum_{-\infty 2023. 2. 13.

[수리통계학] #40. 이변량 확률분포 (결합확률분포) 우리는 24강에서 확률변수가 무엇인지 배웠습니다. 확률변수는 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수입니다. 26~27강에서는 확률분포함수를 배웠습니다. 확률분포는 확률변수를 확률에 대응시키는 함수입니다. 오늘은 이변량 확률분포를 배울 것인데요. 이변량 확률분포는 확률변수의 쌍을 확률에 대응시키는 함수입니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 두개 던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. $S={HH,HT,TH,TT}$ 두 확률변수 $X_{1}$과 $X_{2}$ 를 아래와 같이 정의합시다. $X_{1}$ : 앞면이 나온 횟수 $X_{2}$ : 뒷면이 나온 횟수 순서쌍 $(X_{1},X_{2})$ 의 집합을 D라고 한다면, D는 아래와 같습니다. $D=\left \{ (2,1),(1,1),(0,2) \righ.. 2023. 2. 13.

[확률과통계 기초] 2-5. 확률의 곱셈정리 직관적으로 이해하기 확률의 곱셈정리가 아래 두가지 수식이라는 것을 지난시간에 배웠습니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$ $P(A \cap B)=P(B)P(A|B)$ 수학적으로는 유도했지만 와닿지 않을 수도 있어서 직관적으로도 이해하려고 합니다. 어떤 학교에 학생이 100명이라고 합시다. 전체 학생은 남,녀로 분류할 수 있고 다시 문,이과로 분류할 수 있습니다. 벤다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 이 학교에서 학생 한명을 뽑을 때, 남학생이면서 이과일 확률은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. P(이과 ∩ 남) 이과이면서 남학생일 확률은 남학생을 뽑고, 그 남학생들 중에서 이과를 뽑을 확률과 같습니다. 아래와 같습니다. P(이과 ∩ 남) = P(남) X P(이과 | 남) 위 식이 확률의 곱셈정리입니다. 다.. 2023. 1. 20.

[확률과통계 기초] 2-4. 확률의 곱셈정리 확률의 곱셈정리는 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건은 집합이었죠? 두 사건이 동시에 일어난다는 것이 무슨 의미일까요? 사건 A와 B를 벤다이어그램으로 표현해봅시다. 두 사건이 동시에 일어난다는 것은 위 벤다이어그램의 교집합이 발생한다는 것입니다. 따라서 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률은 아래와 같이 표현됩니다. $P(A \cap B)$ 위 식은 조건부 확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있는데요. 위 식을 조건부확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타내는 것이 확률의 곱셈정리입니다. 아래와 같은 두가지 방법이 있습니다. 1) 사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률를 이용 $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 위 식을 $P(A \.. 2023. 1. 20.

카이제곱분포 글 하나로 끝내버리기 1. 어디에 사용되나? 1) 카이제곱분포는 t분포 유도에 사용됩니다. t분포 유도에는 확률변수 $\frac{ns^2}{\sigma^2}$ 가 사용되는데, 이 확률변수가 n자유도 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. $s^2$은 표본분산, $\sigma^2$은 모분산입니다. 2) 카이제곱검정에 사용됩니다. 2. 어떻게 생겼나요? 카이제곱분포도 t분포처럼 '자유도'에 따라 모양이 결정됩니다. t분포에서 자유도는 표본크기에서 1을 뺀 값이었는데요. 카이제곱분포 자유도의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. k자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left ( \frac{k}{2} \right ) }x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}.. 2023. 1. 14.

모집단이 정규분포를 따르면 표본평균은 항상 정규분포를 따를까? 모집단이 정규분포를 따른다면 표본평균은 항상 정규분포를 따르는지 알아봅시다. 결과부터 말씀드리면 'yes' 입니다. 1. 모집단의 확률변수 정규분포를 따르는 모집단의 원소를 확률변수 X라고 놓겠습니다. 이해되시는 분들은 2번으로 넘어가시면 됩니다. 모집단의 원소를 확률변수로 놓는 것에 익숙하지 않은 분들을 위해 간단한 예시로 설명하겠습니다. 아래와 같은 숫자 카드 5장으로 모집단을 만들어봅시다. 1,2,3,3,3 모집단의 원소를 변수 X로 놓을 수 있습니다. X는 1,2,3 이 될 수 있습니다. 이때 각 값에는 확률이 부여되어 있습니다. 각 확률은 아래와 같습니다. P[X=1]=1/5 P[X=2]=2/5 P[X=3]=3/5 따라서 모집단의 원소를 확률변수 X로 놓을 수 있습니다. 2. 정규분포를 따르는 .. 2023. 1. 14.

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