마르코브 연쇄 쉽게 이해하기

마르코브 연쇄 예시

마르코브 연쇄와 관련된 간단한 예시를 먼저 살펴봅시다. 날씨가 두가지만 있는 세상에 살고 있다고 합시다. 맑은날(S)과 비오는날(R) 두가지만 있습니다. 확률은 아래와 같이 정의됩니다. 

맑은 날 다음날 맑을 확률 = 0.9
맑은 날 다음날 비올 확률 = 0.1
비온 다음 날 맑을 확률 = 0.6
비온 다음 날 비올 확률 = 0.4

오늘 비가 왔다면, 내일 맑을 확률과 비올 확률은 0.6과 0.4입니다. 어제 날씨가 어떠했건 상관없이, 그 전날 날씨가 어떠했건 상관 없이 오늘 날씨에 따라 내일 날씨의 확률이 결정됩니다. 이러한 성질을 마르코브 연쇄라고 부릅니다. 

 

마르코브 연쇄란?

마르코브 연쇄의 정의는 아래와 같습니다. 

마르코브 연쇄 : 미래 상태의 확률분포가 과거 상태와는 독립적으로 현재 상태에 의해서만 결정된다는 성질

말이 어려워 보이는데 날씨 예시를 떠올리면 됩니다. 내일의 날씨가 발생할 확률(미래상태 확률분포)은 오늘 날씨(현재상태)에 의해서만 결정됩니다. 

이 성질을 수식을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

$P(X_{t+1}=x|X_{t}=x_{t})=P(X_{t+1}=x|X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\cdots,X_{t}=x_{t})$

바로 전 시행에서 $x_{t}$이라는 사건이 발생했을 때 $X_{t+1}$ 의 확률분포와 앞에 여러 사건이 발생했고 $x_{t}$이 발생했을 때 $X_{t+1}$의 확률분포가 같다는 뜻입니다. 

 

행렬로 표현

날씨 예시를 행렬로 표현해봅시다. 먼저 날씨라는 확률분포를 벡터로 나타내봅시다. 백터의 첫 값은 맑을 확률, 다음 값은 비올확률입니다. 어떤 날(t일)의 날씨가 맑을 확률이 0.2, 비올 확률이 0.8이라면 벡터로 아래와 같이 나타냅니다. 

$P(X_{t})=\begin{bmatrix} 0.2\\  0.8 \end{bmatrix}$

다음 날인 t+1일 날씨의 확률분포는 아래와 같이 계산됩니다. 

$P(X_{t+1})=\begin{bmatrix} 0.9 &0.6 \\  0.1 &0.4  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.2\\  0.8 \end{bmatrix}$