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@ 통계학 석박사 진학관련/수리통계학 요약42

[수리통계학] #42. 이변량 분포 변환 (transformation) 개념 이변량 확률변수의 변수변환이 무엇인지 먼저 간단히 알아봅시다. 두 확률변수의 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포 를 알고 있다고 합시다. 이때 다른 다른 확률변수 $Y_{1}$과 $Y_{2}$는 아래과 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=f_{1}(X_{1},X_{2})$ $Y_{2}=f_{2}(X_{1},X_{2})$ 이때 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포를 이용하여 $Y_{1}$와 $Y_{2}$의 결합확률분포를 구하는 것이 확률변수 변환입니다. 어떻게 사용되나? 우리가 확률분포를 구하고 싶은 확률변수인 $Y_{1}$이 아래와 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=g(X_{1},X_{2})$ 이변량 분포의 변환을 이용하면 Y의 확률분포함수를 구할 수 있습니다. 약간의 편법(?.. 2023. 2. 14.

[수리통계학] #41. 주변확률분포 주변확률분포는 결합확률분포로 부터 계산된 단일변량 확률분포입니다. 이산확률변수 두 확률변수 $X_{1}$ 과 $X_{2}$의 결합확률질량함수를 알고 있다고 합시다. $p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})$ 이 결합확률질량함수로 부터 $X_{1}$의 확률분포함수를 얻으려면 어떻게 해야할까요. 아래와 같이 구하면 됩니다. $p_{X_{1}}(x_{1})=\sum_{-\infty 2023. 2. 13.

[수리통계학] #40. 이변량 확률분포 (결합확률분포) 우리는 24강에서 확률변수가 무엇인지 배웠습니다. 확률변수는 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수입니다. 26~27강에서는 확률분포함수를 배웠습니다. 확률분포는 확률변수를 확률에 대응시키는 함수입니다. 오늘은 이변량 확률분포를 배울 것인데요. 이변량 확률분포는 확률변수의 쌍을 확률에 대응시키는 함수입니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 두개 던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. $S={HH,HT,TH,TT}$ 두 확률변수 $X_{1}$과 $X_{2}$ 를 아래와 같이 정의합시다. $X_{1}$ : 앞면이 나온 횟수 $X_{2}$ : 뒷면이 나온 횟수 순서쌍 $(X_{1},X_{2})$ 의 집합을 D라고 한다면, D는 아래와 같습니다. $D=\left \{ (2,1),(1,1),(0,2) \righ.. 2023. 2. 13.

[수리통계학] #39. 특성함수가 항상 존재함을 증명 어떤 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ 아래 부등식이 성립합니다. 복소해석학 내용입니다. 증명은 글 맨 아래 첨부한 링크를 참고하세요. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq \int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itX}f(x) \ri.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #38. 특성함수가 같으면 같은 분포일까? (유일성) 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 $F_{X}(x)$ 와 $F_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 $f_{X}(x)$ 와 $f_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 특성함수는 $\varphi_{X}(t)$ 와 $\varphi_{Y}(t)$ 라고 놓겠습니다. 이때 아래 성질이 성립합니다. 1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 특성함수도 같다. 2. 두 함수의 특성함수가 같으면 누적분포함수도 같다. 1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 특성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다. $\varphi_{X}(t)=E[e^{itx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{it.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #37. 특성함수 특성함수는 확률밀도함수에 퓨리에변환을 적용한 것입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. 비교를 위해 적률생성함수도 나란히 써보겠습니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$ $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 특성함수는 적률생성함수에서 t자리에 it 가 대신 들어간 것입니다. 적률생성함수처럼 특성함수도 확률밀도함수마다 고유합니다. 두 확률변수의 특성함수가 같다면 확률밀도함수도 같습니다. 둘의 결정적인 차이는 다음과 같습니다. 특성함수는 적률생성함수와 달리 모든 확률분포에 대해 .. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #36. 적률생성함수가 존재하지 않는 경우 모든 확률분포에서 적률생성함수가 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포도 있습니다. 반면 다음 시간에 배울 특성함수는 모든 확률분포에서 존재합니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 예시는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$ 확률변수 X는 연속확률변수이고 범위는 모든 실수입니다. 위 확률분포는 Cauchy 분포입니다. Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. $f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$ Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. $f(.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #35. 적률생성함수가 같은면 같은 분포일까 (유일성) 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 $F_{X}(x)$ 와 $F_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 $f_{X}(x)$ 와 $f_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수는 $M_{X}(t)$ 와 $M_{Y}(t)$ 라고 놓겠습니다. 이때 아래 성질이 성립합니다. 1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 적률생성함수도 같다. 2. 두 함수의 적률생성함수가 같으면 누적분포함수도 같다. 1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 적률생성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx$ 따라.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #34. 적률생성함수란 무엇인가 적률생성함수는 적률을 생성하는 함수입니다. 적률은 아래와 같이 정의됩니다. $E[X^n]$ 적률은 확률변수의 거듭제곱의 기댓값입니다. 적률에는 차수가 있습니다. 위 적률은 n차 적률입니다. 적률생성함수는 미분을 이용하여 간편하게 적률을 구할수 있게 해주는 함수입니다. 확률변수 X의 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $e^{tx}$의 기댓값입니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]$ 확률변수가 이산확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\sum e^{tx}p(x)$ 확률변수가 연속확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx$ 변수는 X가 아니라 t입니다. X는 적분이되어 .. 2022. 7. 4.

[수리통계학] #33. 연속확률변수의 변수변환 (일대일 대응) 연속확률변수 $X$와 $Y$가 있습니다. 확률변수 $X$의 분포함수는 알고 있는 상황입니다. 또한 $Y=g(X)$ 라는 함수도 알고 있고 $X$와 $Y$는 일대일 대응이라고 가정합시다. 이때 $Y$의 분포함수를 구하는 방법입니다. 알고 있는 것 : $X$의 분포함수 $f_{X}(x)$, $Y=g(X)$ 조건 : $X$와 $Y$는 일대일 대응 구해야 하는 것 : $Y$의 분포함수 $f_{Y}(y)$ $X$와 $Y$가 일대일 대응이므로 $g(X)$ 는 증가함수이거나 감소함수입니다. 두 경우로 나눠서 $f_{Y}(y)$ 구하는 방법을 알아봅시다. 1. $g(X)$ 가 증가함수인 경우 연속확률변수이므로 특정 값에서의 확률을 정의할 수는 없습니다. 따라서 누적분포함수를 이용하여 접근하겠습니다. 아래 등식에서 출발.. 2022. 6. 30.

[수리통계학] #32. 이산확률변수의 변수변환 (일대일 대응) 이산확률변수 X와 Y가 있습니다. 확률변수 X의 분포함수는 알고 있는 상황입니다. 또한 $Y=g(X)$ 라는 함수도 알고 있고 X와 Y는 일대일 대응이라고 가정합시다. 이때 Y의 분포함수를 구하는 방법입니다. 알고 있는 것 : X의 분포함수, X와 Y의 관계함수 (Y=g(X)) 조건 : X와 Y는 일대일 대응 구해야 하는 것 : Y의 분포함수 아래 등식에서 출발합니다. $p_{Y}(y)=P[Y=y]$ 좌변의 $p_{y}(y)$는 확률변수 Y의 확률질량함수입니다. 우변은 확률변수 Y가 y일 확률입니다. $Y=g(X)$ 이므로 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $p_{Y}(y)=P[g(X)=y]$ $g(X)=y$ 는 $X=g^{-1}(y)$ 로 변형할수 있고, 둘의 발생확률은 당연히 같습니다. 따라.. 2022. 6. 30.

[수리통계학] #31. 분위수(Quantile)와 사분위수(Quartile) 분위수 설명 분위수는 확률분포에서 확률변수의 구간을 나누는 기준이 되는 수 입니다. 전체를 몇개로 나누는가에 따라 앞에 숫자가 붙습니다. 예를들여 이분위수는 전체를 둘로 나누는 분위수입니다. 확률분포를 둘로 나누는 것이므로, 이분위수를 기준으로 왼쪽의 넓이는 0.5, 오른쪽의 넓이도 0.5입니다. 따라서 이분위수는 중앙값(median)입니다. 확률분포를 셋으로 나누는 분위수는 삼분위수(tertiles)입니다. 전체를 셋으로 나누는 것이므로, 삼분위수는 2개가 있습니다. 누적 확률이 1/3이 되는 곳의 확률변수가 첫번째 삼분위수입니다. 1삼분위수라고 부릅니다. 누적확률이 3/2가 되는 곳이 두번째 삼분위수이고, 2삼분위수라고 부릅니다. 확률분포를 넷으로 나누는 분위수는 사분위수(quartile) 입니다. .. 2021. 6. 14.

[수리통계학] #30. 역누적분포함수 역누적분포함수는 누적분포함수의 역함수입니다. 누적분포함수에서는 정의역이 확률변수, 함수값이 확률이었습니다. 역누적분포함수에서는 정의역이 확률이고 함수값이 확률변수입니다. 누적분포함수 X : 확률변수 Y : 누적 확률 역누적분포함수 X : 누적확률 Y : 확률변수 역누적분포함수는 아래와 같이 정의됩니다. 확률변수 X가 F라는 누적분포함수를 따를 때, 역누적분포함수는 아래와 같다. $F^{-1}(q)=inf \left \{ x:F(X)>q \right\}$ q는 0과 1사이의 값을 갖습니다. 역누적분포함수는 분위수함수(quantile)라고도 부릅니다. 분위수를 함수값으로 갖기 때문입니다. 정규분포를 예로들어봅시다. 왼쪽부터 확률밀도함수, 누적분포함수, 역누적분포함수 입니다. 2021. 6. 11.

[수리통계학] #29. 누적분포함수 예시 한가지 실험을 가정하고 누적분포함수를 직접 만들어봅시다. 아래와 같은 실험입니다. 실험 : 동전을 3번 던짐 표본공간 : {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT} 확률변수 : 앞면이 나온 횟수 확률변수표 X P(X) 0 $\frac{1}{8}$ 1 $\frac{3}{8}$ 2 $\frac{3}{8}$ 3 $\frac{1}{8}$ 누적분포함수를 그려봅시다. 누적분포함수의 정의는 아래와 같습니다. $F_{X}(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}^{}p(x)$ 따라서 누적분포함수는 아래와 같습니다. $F_{X}(x)=\left \{ \begin{matrix} 0 & (-\infty 2021. 3. 15.

[수리통계학] #28. 누적분포함수 누적분포함수 누적분포함수는 아래와 같이 정의됩니다. $F_{X}=P(X \leq x)$ 누적분포함수의 함수값은 확률을 나타냅니다. 확률변수 X가 누적분포함수의 입력값 x보다 같거나 작을 확률입니다. 이산확률변수의 누적분포함수 이산확률변수의 누적분포함수값은 아래와 같이 계산됩니다. $p(x)$는 확률변수 X의 확률질량함수입니다. $F_{X}(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}^{}p(x)$ 변수가 x보다 작은 경우의 확률을 모두 더하면 됩니다. 연속확률변수의 누적분포함수 연속확률변수의 누적분포함수값은 아래와 같이 계산됩니다. $f(x)$는 확률변수 X의 확률밀도함수입니다. $F_{X}(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty }^{x}f(x)$ 2021. 3. 11.

[수리통계학] #27. 확률밀도함수 표본공간을 S라고 놓겠습니다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합이 표본공간입니다. 이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. X는 연속확률변수입니다. $X=\left \{ a\leq x\leq b \right \}$ 확률변수와 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이를 확률함수라고 합니다. 확률변수 → (확률함수) → 확률 연속확률변수의 확률함수는 연속함수입니다. 이때는 함수 값이 확률이 아니라 함수의 면적이 확률이 됩니다. 따라서 확률함수 $f_{X}(x)$는 아래와 같이 정의됩니다. $P[(a,b)]=P[\left \{ c \in S:a 2021. 3. 10.

[수리통계학] #26. 확률질량함수 확률질량함수 표본공간 S가 아래와 같다고 합시다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합입니다. $S=\left \{ c_{1},c_{2},...,c_{n} \right \}$ 이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. $X=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{m} \right \}$ 이때 확률변수 $x_{i}$와 이 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이 함수를 확률함수라고 부릅니다. 확률변수 → (확률함수) → 확률 확률변수가 이산확률변수인 경우에는 이러한 확률함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 연속확률변수인 경우는 확률밀도함수라고 부르는데 다음 글에서 다루겠습니다. 이산확률변수의 확률함수 : 확률질량함수 연속확률변수.. 2021. 3. 8.

[수리통계학] #25. 이산확률변수, 연속확률변수 표본공간의 원소인 사건(event)과 실수(real number)를 연결하는 함수가 확률변수였습니다. 사건 → (확률변수) → 실수(real number) 확률변수는 크게 둘로 나뉩니다. 셀 수 있는 이산확률변수가 있고, 셀 수 없는 연속확률변수가 있습니다. 이산확률변수 : 셀 수 있음 연속확률변수 : 셀 수 없음 여기서 셀수 있음과 없음은 '개수'와는 무관합니다. 번호 붙여 셀 수 있는지 여부를 말하는 것입니다. 예를들어 자연수의 집합은 개수가 무한하지만 셀 수 있는 집합입니다. (셀수 있음과 관련된 내용은 링크 영상 참고) 이산확률변수 예시 이산확률변수를 예로 들면 주사위를 던질 때 나오는 눈의 값이 있습니다. 사건 : 주사위 던짐 표본공간 : {1,2,3,4,5,6} 확룰변수 : 눈의 값 확률변수는.. 2021. 3. 5.

[수리통계학] #24. 확률변수의 정의 확률변수는 영어로 random variable 입니다. 사실 random variable 이라는 단어에는 '확률'이 이라는 말이 없습니다. 확률변수의 교과서적인 정의를 먼저 이야기하고 나서 예시를 통해 설명을 하겠습니다. 정의 (Definition) 확률변수는 표본공간(S)에서 실수로 정의된 함수이다. $X:S\rightarrow \mathbb{R}$ 표본공간의 원소 c에 대하여 실수값 X(c)를 대응시킨다. 실험을 했고 사건이 발생했습니다. 각 사건을 어떤 '실수 값'에 대응시키는 함수가 확률변수입니다. 예시를 통해 확률변수를 이해해봅시다. 확률변수를 정의할 때는 실험이 먼저 정의되어야 합니다. 실험을 정하고, 확률변수를 정의하면 됩니다. 예제1) 동전을 세번 던질 때, 앞면이 나온 수 실험 : 동전 .. 2021. 3. 2.

[수리통계학] #23. 사건 A와 B가 독립이면, A여집합과 B도 독립일까 두 사건 A의 여집합과 B의 교집합에서 부터 유도를 시작합시다. $P(A^{c} \cap B)$ 위 집합은 B에서 A와 B의 교집합을 뺀 집합과 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)$ A와 B는 독립이므로, 교집합을 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A)P(B)$ P(B)로 묶어줍시다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)(1-P(A))$ 1-P(A) 는 $P(A^{c})$와 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)P(A^{c})$ 위 등식이 성립하므로 사건 $B$와 $A^{c}$ 가 독립입니다. 따라서 아래 명제가 성립합니다. 두 사건 A와 B가 서로 독립일 때, $A^{c}$과 B도 서로 독립이다. 2021. 3. 2.

[수리통계학] #22. 두 사건의 독립 두 사건이 독립일 때 유도되는 성질 두 사건(혹은 집합)이 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $P(A|B)=P(A)$ 또는 $P(B|A)=P(B)$ 조건부 확률 공식을 적용하면 아래와 같습니다. 위 두 등식중 어느것으로 해도 결과는 같기 때문에 첫 등식으로 유도하겠습니다. $P(A|B)=P(A)=\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }=P(A)$ 양변에 P(B)를 곱합니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ 두 사건이 독립이면 위 등식이 성립하고, 반대로 위 등식이 성립한다면 두 사건은 독립입니다. 왜?? 위 등식.. 2021. 3. 2.

[수리통계학] #20. 진정한 베이즈정리 (사전확률의 갱신) 진정한 베이즈정리란 제목을 붙인 이유는, 베이즈정리의 실제 응용에 가까운 설명이기 때문입니다. 우리는 앞에서 베이즈정리의 공식을 아래와 같이 유도했습니다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$ 앞에서 살펴본 두 예시에서는 사전확률인 P(A)를 알고 있다고 가정했습니다. 하지만 사전확률인 P(A)를 알고 있는 경우에는 베이즈정리라는 거창한 이름을 붙일 것도 없이, 조건부확률과 확률의 기본적인 계산방법만 알면 P(A|B)를 구할 수가 있습니다. 베이즈정리의 진정한 의미는 사전확률을 모르는 상황에서 사전확률을 가정하고, 발생한 사건을 토대로 사전확률을 '갱신'하는데 있습니다. 이번 글에서는 그 이야기를 해보려고 합니다. 그사람이 날 좋아할까 예시 베이즈정리에서 사전확률갱신을 설명하는데 자.. 2021. 3. 1.

[수리통계학] #19. 베이즈정리 예시2 : 암 진단 베이즈정리 두번째 예시입니다. 지난 예시보다는 베이즈정리에 의미에 다가갈 수 있는 예시입니다. '다진단'이라는 암 진단키트가 있습니다. 다진단이 털암에 걸린 사람을 암환자로 진단할 확률을 97%입니다. 건강한 사람을 암환자로 오진할 확률은 2%입니다. 만약 다진단으로 K를 검사한 결과 암환자로 나왔을 때, K가 암에 걸려있을 확률은 얼마일까? 조건부확률을 이용하여 확률을 표현하면 아래와 같습니다. K가 암환자로 진단된 사건을 DP, K가 암에 걸린 사람일 확률을 CP라고 하겠습니다. 암에 걸리지 않을 확률은 CN이라고 놓겠습니다. $P(CP|DP)=\frac{ P(CP \cap DP) }{ P(DP) }$ 곱셈공식과 전확률법칙을 이용하여 베이즈정리 형태로 바꾸면 아래와 같습니다. $P(CP|DP)=\fr.. 2021. 3. 1.

[수리통계학] #18. 베이즈정리 예시1 : 불량률 베이즈정리에 대한 이해를 돕기 위해 예시를 풀어봅시다. 아래 예시는 베이즈정리를 사용해서 풀리긴 하지만 베이즈정리의 의미를 이해하는데는 별로 도움이 되지 않는 예시입니다. 조건부확률의 활용 정도이지, 베이즈정리의 본질에 다가가게 해주지는 않습니다. 일단 베이즈정리 수식에 익숙해질 겸 몇가지 예시를 풀어본 뒤에 다시 이야기해보록 합시다. 한 공장에서 어떤 제품을 생산하는데 세가지 기계를 사용한다고 합시다. 기계의 이름은 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 입니다. 각각의 기계는 전체 생산량의 10%, 30%, 60%를 차지하고 있습니다. 모든 기계는 불량이 발생할 수 있는데요. 각 기계의 불량률은 1%, 2%, 3% 입니다. 불량품이 발생했을 때, 기계 $M_{1}$에서 발생했을 확률을 구하시오. $M.. 2021. 3. 1.

[수리통계학] #17. 베이즈정리 유도 (Bayes' theorem) 베이즈정리 유도 어떤 사건 A와 B가 있을 때, 아래와 같은 조건부확률을 정의할 수 있습니다. $P(A|B)=\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$ 위 수식의 분자에 확률의 곱셈공식을 적용합시다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$ 위 등식이 베이즈정리입니다. $P(A|B)$ 를 구하고 싶은데, 직접 구하는 것이 어려운 대신 $P(A)$ 와 $P(B|A)$를 구하는 것은 상대적으로 쉽다면 위 등식은 쓸모가 있을겁니다. 변형 표본공간 $S$는 사건 $A$에 의해 둘로 나뉩니다. $A$ 와 $A^{c}$ 입니다. 따라서 위 등식 분모에 전확률공식을 적용할 수 있습니다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(A^{c})P(B|A^{c})}$ 일반화.. 2021. 3. 1.

[수리통계학] #16. 전확률공식 전확률공식(law of total probability, 또는 전체확률법칙) 서로 배반인 k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들이 표본공간 S를 분할하고 있다고 합시다. 어떤 사건 B가 있다고 할 때, 아래 등식이 성립합니다. 위 조건과 상관없이 이건 그냥 당연히 성립합니다. $P(B)=P(B \cap S)$ 집합 A들이 표본공간을 분할하고 있으므로, 아래와 같이 변형가능합니다. $P(B)=P(B \cap (A_{1} \cup ... \cup A_{k}))$ 분배법칙을 사용합시다. $P(B)=P((B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2}) \cup ... \cup (B \cap A_{k}))$ 괄호안의 각 집합들은 배반이므로 아래 등식이 성.. 2021. 2. 27.

[수리통계학] #15. 전체포괄(Collectively Exhaustive), 상호배반(Mutually Exclusive), 분할(Partition) 전체포괄(collectively exhaustive) k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들의 합집합이 표본공간S와 같다면 이사건들의 모임이 '전체를 이룬다'고 합니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $\bigcup_{i=1}^{k}P(A_{i})=1$ 줄여서 exhaustive 라고도 부릅니다. exhaustive 의 의미를 알아봅시다. exhaust라는 단어에 더 익숙하실 것입니다. '기진맥진하게 만들다'라는 의미에 너무 익숙해져버려서 감이 잘 안오실 수 있는데요. exhaust 는 다 써버리다 라는 뜻도 있습니다. exhaustive 는 다 써버린, 하나도 빠뜨리지 않은, 철저한 이라는 뜻입니다. 어떤 집합의 모임이 표본공간을 다 써버린거죠. 상호배반(.. 2021. 2. 27.

[수리통계학] #14. 조건부확률, 곱셉공식 조건부확률의 정의 조건부확률은 어떤 사건 A가 일어났다는 전제 하에 사건 B가 일어날 확률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $P(B|A)$ 사건 A가 일어났으므로, 사건 A가 새로운 표본공간이 됩니다. 이 표본공간에서 사건 B가 일어난다는 것은 사건 $A \cap B$ 가 일어난다는 의미입니다. 따라서 조건부확률은 아래와 같이 정의됩니다. $P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 곱셈법칙 (multiplication rule, 또는 곱셈공식) 조건부확률의 정의를 변형하면 아래와 같습니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$ 이 수식의 의미를 생각해봅시다. A와 B가 둘다 발생한 확률은 A가 발행하고, A가 발생한 상황에서 B가 발생하면 된다 라고 해석할 수 있습니다... 2021. 2. 27.

[수리통계학] #13. 포함 배제의 원리 (Inclusion–exclusion principle) 확률에서의 포함배제의 원리는 9강과 10강에서 살펴본 합집합의 확률공식을 일반화한 것입니다. 포함배제의 공식(Inclusion–exclusion formula)이라고도 부릅니다. 집합이 2개인 경우 아래 등식이 성립합니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left (AB \right )$ 집합이 세개인 경우는 아래 등식이 성립합니다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$ 집합이 4개인 경우는 어떨까요? $\begin{align} \\&P(A \cup B \cup C \cup D)=P(A)+P.. 2021. 2. 26.

[수리통계학] #12. 부울의 부등식 (Boole's inequality) P는 집합함수고 집합 $A_{n}$은 어떤 사건들이라고 합시다. 이때 아래 부등식이 성립합니다. $P\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right )\leq \sum_{i=1}^{\infty }P\left ( A_{i} \right )$ 이 부등식을 부울부등식이라고 합니다. 부울대수(논리대수)를 창안한 조지 부울의 이름을 따서 만들어진 부등식입니다. 먼저 좌변을 보면 $A_{1},A_{2},...$ 집합들의 합집합의 확률입니다. 우변은 각 집합들의 확률의 합입니다. 우변은 교집합들이 중복되어 계산될 것이니 당연히 좌변보다 클 것입니다. 교집합이 없을 경우는 같을 거구요. 직관적으로 받아들일 수 있는 내용의 증명은 생략합니다. 집합이 2개인 경우의 부울의 부등식은 아래와 같.. 2021. 2. 26.

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