[수리통계학] #37. 특성함수

특성함수는 확률밀도함수에 퓨리에변환을 적용한 것입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. 비교를 위해 적률생성함수도 나란히 써보겠습니다. 

$\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$

$M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$

특성함수는 적률생성함수에서 t자리에 it 가 대신 들어간 것입니다. 

적률생성함수처럼 특성함수도 확률밀도함수마다 고유합니다. 두 확률변수의 특성함수가 같다면 확률밀도함수도 같습니다. 

둘의 결정적인 차이는 다음과 같습니다. 특성함수는 적률생성함수와 달리 모든 확률분포에 대해 존재합니다.