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@ 통계학 석박사 진학관련/수리통계학 요약

[수리통계학] #39. 특성함수가 항상 존재함을 증명

by bigpicture 2022. 7. 6.
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어떤 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

φX(t)=eitXf(x)dx

양변에 절댓값을 씌워줍시다. 

|φX(t)|=|eitXf(x)dx|

아래 부등식이 성립합니다. 복소해석학 내용입니다. 증명은 글 맨 아래 첨부한 링크를 참고하세요. 

|φX(t)|=|eitXf(x)dx||eitXf(x)|dx

맨 오른쪽 항은 아래와 같이 변형됩니다. 

|φX(t)|=|eitXf(x)dx||eitX||f(x)|dx

eitX의 크기는 1이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

|φX(t)|=|eitXf(x)dx||f(x)|dx

맨 오른쪽 항은 확률분포를 전체 구간에 대해 적분한 것이므로 1입니다. 

|φX(t)|=|eitXf(x)dx|1

따라서 아래 등식이 성립합니다 .

|φX(t)|1

특성함수는 항상 수렴합니다. 

 

 

Rerefence
1. 복소수 부등식 증명 링크
https://proofwiki.org/wiki/Modulus_of_Complex_Integral

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