[수리통계학] #34. 적률생성함수란 무엇인가

적률생성함수는 적률을 생성하는 함수입니다. 적률은 아래와 같이 정의됩니다. 

$E[X^n]$

적률은 확률변수의 거듭제곱의 기댓값입니다. 적률에는 차수가 있습니다. 위 적률은 n차 적률입니다. 

적률생성함수는 미분을 이용하여 간편하게 적률을 구할수 있게 해주는 함수입니다. 확률변수 X의 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $e^{tx}$의 기댓값입니다. 

$M_{X}(t)=E[e^{tx}]$

확률변수가 이산확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. 

$M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\sum e^{tx}p(x)$

확률변수가 연속확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. 

$M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tx}f(x)dx$

변수는 X가 아니라 t입니다. X는 적분이되어 계산되므로 변수가 아닙니다. 

적률생성함수는 모든 영역에서 정의되지 않아도 됩니다. h 가 양수 일 때 $-h<t<h$ 에서 정의가 가능하면 됩니다. 뒤에서 알게 되겠지만 t에 0을 넣어 사용할 것이기 때문에 0 근처에서만 정의되면 됩니다. 

적률생성함수가 어떻게 사용되는지 알아봅시다. 연속확률변수의 경우로 설명하겠습니다. 연속확률변수의 적률생성함수를 t로 n번 미분하면 아래와 같습니다. $e^{tx}$가 t로 미분되면서 x가 계속 곱해진 것입니다. 

$\frac{d^n M_{X}(t)}{dt^n}=\int_{-\infty}^{\infty}  x^n e^{tx}f(x)dx$

t에 0을 넣어봅시다. 

$\frac{d^n M_{X}(0)}{dt^n}=\int_{-\infty}^{\infty}  x^n f(x)dx$

우변은 $E[X^n]$ 입니다. 적률생성함수를 만들어 놓으면 n번 미분해서 t에 0을 넣음으로 $E[X^n]$ 를 구할 수 있습니다.