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두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 FX(x) 와 FY(y) 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 fX(x) 와 fY(y) 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수는 MX(t) 와 MY(t) 라고 놓겠습니다.
이때 아래 성질이 성립합니다.
1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 적률생성함수도 같다.
2. 두 함수의 적률생성함수가 같으면 누적분포함수도 같다.
1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 적률생성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다.
MX(t)=E[etx]=∫∞−∞etxf(x)dx
따라서 확률밀도함수가 같다면 적률생성함수는 같습니다.
2번 성질을 증명해봅시다. 두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다.
∫∞−∞etxf(x)dx=∫∞−∞etyf(y)dy
좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다.
∫∞−∞etzfX(z)dz=∫∞−∞etzfY(z)dz
아래와 같이 이항하여 묶어줍니다.
∫∞−∞etz{fX(z)−fY(z)}dz=0
etz는 항상 양수입니다. 임의의 t에 대해 위 등식이 성립하려면 fX(z)−fY(z) 이 0이어야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다.
fX(z)=fY(z)
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