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@ 통계학 석박사 진학관련/수리통계학 요약

[수리통계학] #35. 적률생성함수가 같은면 같은 분포일까 (유일성)

by bigpicture 2022. 7. 6.
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두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 FX(x)FY(y) 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 fX(x)fY(y) 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수는 MX(t) 와  MY(t) 라고 놓겠습니다. 

이때 아래 성질이 성립합니다. 

1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 적률생성함수도 같다.
2. 두 함수의 적률생성함수가 같으면 누적분포함수도 같다.

1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 적률생성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다.   

MX(t)=E[etx]=etxf(x)dx

따라서 확률밀도함수가 같다면 적률생성함수는 같습니다. 

2번 성질을 증명해봅시다. 두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. 

etxf(x)dx=etyf(y)dy

좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다. 

etzfX(z)dz=etzfY(z)dz

아래와 같이 이항하여 묶어줍니다. 

etz{fX(z)fY(z)}dz=0

etz는 항상 양수입니다. 임의의 t에 대해 위 등식이 성립하려면 fX(z)fY(z) 이 0이어야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

fX(z)=fY(z)

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