[수리통계학] #35. 적률생성함수가 같은면 같은 분포일까 (유일성)

두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 $F_{X}(x)$ 와 $F_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 $f_{X}(x)$ 와 $f_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수는 $M_{X}(t)$ 와  $M_{Y}(t)$ 라고 놓겠습니다. 

이때 아래 성질이 성립합니다. 

1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 적률생성함수도 같다.
2. 두 함수의 적률생성함수가 같으면 누적분포함수도 같다.

1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 적률생성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다.   

$M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tx}f(x)dx$

따라서 확률밀도함수가 같다면 적률생성함수는 같습니다. 

2번 성질을 증명해봅시다. 두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tx}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{ty}f(y)dy$

좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}f_{X}(z)dz=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}f_{Y}(z)dz$

아래와 같이 이항하여 묶어줍니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}\left \{ f_{X}(z)-f_{Y}(z) \right \}dz=0$

$e^{tz}$는 항상 양수입니다. 임의의 t에 대해 위 등식이 성립하려면 $f_{X}(z)-f_{Y}(z) $ 이 0이어야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$f_{X}(z)=f_{Y}(z) $