[수리통계학] #32. 이산확률변수의 변수변환 (일대일 대응)

이산확률변수 X와 Y가 있습니다. 확률변수 X의 분포함수는 알고 있는 상황입니다. 또한 $Y=g(X)$ 라는 함수도 알고 있고 X와 Y는 일대일 대응이라고 가정합시다. 이때 Y의 분포함수를 구하는 방법입니다. 

알고 있는 것 : X의 분포함수, X와 Y의 관계함수 (Y=g(X))
조건 : X와 Y는 일대일 대응
구해야 하는 것 : Y의 분포함수

아래 등식에서 출발합니다. 

$p_{Y}(y)=P[Y=y]$

좌변의 $p_{y}(y)$는 확률변수 Y의 확률질량함수입니다. 우변은 확률변수 Y가 y일 확률입니다. $Y=g(X)$ 이므로 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$p_{Y}(y)=P[g(X)=y]$

$g(X)=y$ 는 $X=g^{-1}(y)$ 로 변형할수 있고, 둘의 발생확률은 당연히 같습니다. 따라서 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$p_{Y}(y)=P[X=g^{-1}(y)]$

위 식의 우변은 X가 $g^{-1}(y)$ 일 확률입니다. 따라서 아래 수식을 얻습니다. 

$p_{Y}(y)=p_{X}(g^{-1}(y))$

 

 과정을 요약하면 아래와 같습니다. 

 

$p_{Y}(y)=P\left [ Y=y \right ]=P\left [ g(X)=y \right ]=P\left [ X=g^{-1}(y) \right ]=p_{X}(g^{-1}(y))$

 

예제

예제를 하나 풀면서 이해를 돕도록 합시다.

X가 B(n,p) 인 이항분포 이고, Y=X+3 일때 Y의 분포를 구하시오. 

X의 분포함수는 아래와 같습니다. 

$p_{X}(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$

$g^{-1}(y)=y-3$ 입니다. 따라서 $g_{Y}(y)$는 아래와 같습니다. 

$p_{Y}(y)=p_{X}(y-3)=\binom{n}{y-3}p^{y-3}(1-p)^{n-y+3}$

 

 

X와 Y가 일대일 대응이 아니라면 일반화된 방법을 도출할 수 없고 문제마다 고민하며 풀어야 합니다.