모든 확률분포에서 적률생성함수가 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포도 있습니다. 반면 다음 시간에 배울 특성함수는 모든 확률분포에서 존재합니다.
적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 예시는 아래와 같습니다.
f(x)=1π1x2+1
확률변수 X는 연속확률변수이고 범위는 모든 실수입니다. 위 확률분포는 Cauchy 분포입니다. Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다.
f(x;x0,γ)=1πγ[1+(x−x0γ)2]
Cauchy 분포에서 x0 이 0이고, γ가 1인 경우입니다.
f(x)=1π1x2+1
확률변수 X가 위 확률분포를 따를 때, 적률생성함수는 아래와 같습니다.
MX(t)=∫∞−∞etx1π1x2+1dx
위 적률생성함수는 무한대로 발산합니다. 증명해봅시다.
ex 는 증가함수 이고 0에서의 미분값이 1입니다. 따라서 0보다 큰 t와 x에 대해 아래 부등식이 성립합니다.
etx−e0tx−0>1
아래와 같이 변형할 수 있습니다.
etx−1>tx
이항합니다.
etx>tx+1
아래 부등식도 성립합니다.
etx>tx
위 부등식을 적률생성함수 식에 대입합시다. 위 부등식을 유도할 때 x가 0보다 크다고 가정했으므로, 적분구간을 0부터로 바꿔주었습니다. 코시분포의 적률생성함수 식에서 적분 안의 항이 양수이므로 적분구간을 0부터로 바꾸는 것이 가능합니다.
MX(t)=∫∞−∞etx1π1x2+1dx>∫∞0etx1π1x2+1dx>∫∞01πtxx2+1dx
맨 오른쪽 항에서 적분과 무관한 인수를 밖으로 꺼냅니다.
MX(t)=∫∞−∞etx1π1x2+1dx>∫∞0etx1π1x2+1dx>tπ∫∞0xx2+1dx
xx2+1 을 적분하면 12ln(x2+1)+C 이므로 맨 오른쪽 항은 무한대로 발산합니다. 따라서 코시분포의 적률생성함수도 무한대로 발산합니다.
통계에서 정말 자주 사용되는 t분포도 적률생성함수가 없습니다. 증명은 생략하겠습니다.
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