[수리통계학] #36. 적률생성함수가 존재하지 않는 경우

모든 확률분포에서 적률생성함수가 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포도 있습니다. 반면 다음 시간에 배울 특성함수는 모든 확률분포에서 존재합니다. 

적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 예시는 아래와 같습니다. 

$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$

확률변수 X는 연속확률변수이고 범위는 모든 실수입니다. 위 확률분포는 Cauchy 분포입니다. Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. 

$f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$

Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. 

$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$

확률변수 X가 위 확률분포를 따를 때, 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx$

위 적률생성함수는 무한대로 발산합니다. 증명해봅시다. 

$e^x$ 는 증가함수 이고 0에서의 미분값이 1입니다. 따라서 0보다 큰 t와 x에 대해 아래 부등식이 성립합니다. 

$\frac{e^{tx}-e^0}{tx-0}>1$

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$e^{tx}-1>tx$

이항합니다. 

$e^{tx}>tx+1$

아래 부등식도 성립합니다. 

$e^{tx}>tx$

위 부등식을 적률생성함수 식에 대입합시다. 위 부등식을 유도할 때 x가 0보다 크다고 가정했으므로, 적분구간을 0부터로 바꿔주었습니다. 코시분포의 적률생성함수 식에서 적분 안의 항이 양수이므로 적분구간을 0부터로 바꾸는 것이 가능합니다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx
> \int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\pi}\frac{tx}{x^2+1}dx$

맨 오른쪽 항에서 적분과 무관한 인수를 밖으로 꺼냅니다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx
> \int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx>
\frac{t}{\pi}\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2+1}dx$

$\frac{x}{x^2+1}$ 을 적분하면 $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$ 이므로 맨 오른쪽 항은 무한대로 발산합니다. 따라서 코시분포의 적률생성함수도 무한대로 발산합니다. 

 

통계에서 정말 자주 사용되는 t분포도 적률생성함수가 없습니다. 증명은 생략하겠습니다.