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통계 강의91

[확률과 통계 기초] 3-52. 이항분포,균등분포,정규분포의 기호 이번 시간에는 우리가 배운 확률분포들을 기호를 이용해서 간단히 나타내는 방법을 배워봅시다. 먼저 이항분포를 간단히 나타내는 방법을 알아봅시다. 이항분포의 모수는 n과 p이고, 이항분포는 영어로 Binomial distribution 이므로 학자들은 아래와 같은 기호를 만들었습니다. $B(n,p)$ 시행 횟수가 n이고 성공확률이 p인 이항분포라는 뜻입니다. 예를 들어 시행 횟수가 50이고, 성공확률이 1/6인 이항분포는 아래와 같이 나타냅니다. $B(50,\frac{1}{6})$ 말로 길게 설명하지 않아도, 수식을 적지 않아도 간단한 기호로 이항분포를 나타낼 수 있게 된 것입니다. 위 기호는 이항분포를 만드는 데 필요한 모든 정보를 담고 있습니다. 이번에는 균등분포를 기호로 나타내봅시다. 균등분포의.. 2026. 9. 12.
[확률과 통계 기초] 3-51. 균등분포의 모수 우리는 지난시간에 모수가 무엇인지 배우고, 이항분포와 정규분포의 모수를 구해보았습니다. 이번 시간에는 균등분포의 모수를 구해봅시다. 균등분포는 확률변수가 한가지 동일한 확률밀도값을 갖는 분포입니다. 확률밀도함수 그래프를 보면, 더 쉽게 이해가 되실 겁니다. 구간 [a,b] 에서 정의된 균등분포의 그래프는 아래와 같습니다. a,b가 정해지면 확률밀도함수 값도 정해집니다. 여기서 우리는 a와 b만 있으면 균등분포가 결정된다는 것을 알 수 있습니다. 모수는 확률분포를 결정하는 값이었죠. 따라서 균등분포의 '모수'는 a와 b입니다. 오늘은 균등분포의 모수가 무엇인지 알아보았습니다. 다음시간에는 이항분포, 균등분포, 정규분포를 기호로 간단히 나타내는 방법을 배워보겠습니다. 2026. 9. 5.
[확률과 통계 기초] 3-50. 분포를 결정하는 파라미터(모수) 오늘은 파라미터라는 것을 배워볼 겁니다. 파라미터는 확률함수의 모양을 결정하는 값입니다. 어쩌면 우리가 이미 알고 있는 것인데, 그것에 이름을 붙인 것입니다.이항분포에서 파라미터를 찾아봅시다. 시행 횟수가 n이고, 성공확률이 p인 이항분포의 확률질량함수는 아래와 같습니다. $p(x)=_{n}C_{x} \ p^{x}(1-p)^{n-x}$ 우변을 봅시다. 함수값에 영향을 주는 것에는 x, p, n이 있습니다. x는 확률변수에 해당되는 값이라서 함수에 넣는 입력이지 함수의 모양을 결정하지는 않습니다. 함수의 모양을 결정하는 값은 n 과 p 입니다. n과 p가 바뀌면 함수의 모양이 바뀝니다. n과 p가 이항분포의 파라미터입니다. 이번에는 정규분포로 가봅시다. 정규분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=.. 2026. 8. 30.
[확률과 통계 기초] 3-46. 정규분포의 발견 (3) 오차의 분포로 부터 우리는 정규분포가 발견된 경로가 두 가지 있다는 것을 배웠습니다. 하나는 이항분포를 통한 발견입니다. 드무아브르와 라플라스는 이항분포에서 n을 무한대로 보내면, 이항분포가 표준정규분포에 수렴한다는 것을 증명했습니다. 다른 하나의 경로는 가우스가 발견했습니다. 이번 시간에는 가우스가 정규분포를 발견한 과정을 알아봅시다. 우리가 어떤 대상을 측정하는 상황을 생각해봅시다. 아무리 정밀하게 측정하려고 해도, 측정할 때마다 결과가 미세하게 달라질 것입니다. 이는 측정오차 때문입니다. 가우스는 이 측정오차의 분포를 구하고 싶었습니다. 어떤 대상을 측정하는 상황을 수식을 이용하여 표현해보겠습니다. 우리가 어떤 대상의 길이를 n번 측정했을 때, 측정 결과는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $x_{1}$, $x_{2.. 2025. 12. 26.
[확률과 통계 기초] 3-45. 정규분포의 발견 (2) 이항분포로 부터 1738년, 드무아브르는 n이 무한히 커지면, p=1/2 일때 이항분포가 종 모양의 곡선에 가까워져 간다는 것을 증명했습니다. 이 종 모양의 곡선이 표준정규분포입니다. 1812년 라플라스는 p를 0과 1 사이로 일반화시켰습니다. 동전던지기 예시를 가지고 이항분포에서 n이 커질 때, 종 모양의 곡선이 되는지 시험해봅시다. 동전던지기 예시의 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_nC_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\left( \frac{1}{2} \right)^{n-x} $$ 동전을 세번 던질때 확률분포를 그래프로 그려봅시다. 동전을 세번 던질 때 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_3C_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\.. 2025. 11. 22.
[확률과 통계 기초] 3-44. 정규분포의 발견 (1) 프롤로그 우리는 확률 분포를 배우고 있습니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 이산확률 분포 중에서 대표적인 두가지 분포를 배운 상태입니다. O 이산확률분포 - 베르누이분포 - 이항분포 베르누이 분포는 시행의 결과가 성공, 실패 두가지인 베르누이 시행을 한번 한 결과의 분포입니다. 성공은 X=1, 실패는 X=0 으로 뒀을 때 X의 분포입니다. 동전던지기가 대표적인 베르누이 시행입니다. 앞면을 성공, 뒷면을 실패로 두면 동전 던지기 시행의 결과는 성공(앞면)과 실패(뒷면) 두가지 중 하나입니다. 베르누이 분포를 일반화 시켜보면, 성공 확률이 p인 시행을 한번 했을 때의 분포입니다. 이항분포는 베르누이 시행을 여러번 반복했을 때의 분포입니다. 각 시행은 서로 독립적이라는 조.. 2025. 11. 17.
[확률과 통계 기초] 3-42. 균등분포의 평균, 분산, 표준편차 우리는 연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 방법을 배운 상태입니다. 어떤 연속 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x) 라고 했을 때 평균, 분산 표준편차는 아래와 같이 계산합니다. $$ E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ $$ V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2f(x)dx $$ $$ \sigma[X]=\sqrt{V[X]} $$ 이제 우리가 배운 개념을 균등분포에 적용해봅시다. [a,b]에서 정의된 균등분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. $$ f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & otherwise \\\end{matrix}\right. $$ 평균을 먼저 .. 2025. 10. 7.
[확률과 통계 기초] 3-41. 연속확률 분포 적분구간을 무한대로 해도 되는 이유 연속확률분포의 기댓값 수식을 살펴봅시다. 연속확률분포의 기댓값 : $\int_{a}^{b}xf(x)dx$ 위 확률분포는 $[a,b]$에서 정의된 확률분포입니다. 그 외의 값은 0입니다. 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 모양은 임의로 표현했습니다. $[a,b]$ 이외 구간에서 $f(x)$의 값은 0입니다. 따라서 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분을 해도 나머지 구간의 적분값은 0이 나오므로 $[a,b]$에서 적분한 것과 결과가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $$ \int_{a}^{b}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ 확률밀도함수를 적분하여 평균이나 분산을구할 때, 구간을 $[-\infty, \infty]$ 로 설정해주면 됩니.. 2025. 9. 4.
[확률과 통계 기초] 3-40. 구간 표현 익히기 [a,b] (a,b) 오늘은 a≤x≤b 와 같은 구간을 간단하게 나타내는 표현방법을 배워보겠습니다. 자주 사용할 방법인데 생소하신 분들이 계실 수 있어서 한번 설명하고 넘어가려고 합니다. 확률변수 X가 a이상 b이하에서 정의되어 있다고 설명하고 싶을 때, 아래와 같은 기호를 이용하여 간단히 나타낼 수 있습니다. “확률변수 X가 [a,b] 에서 정의되어 있다.” [a,b] 는 a≤x≤b 와 같은 의미입니다. 이런 구간을 닫힌구간이라고 부릅니다. 닫힌구간이라고 부르는 이유는 양 끝점이 구간에 포함되어 있기 때문입니다. 시각적으로 나타내보면 더 쉽게 이해할 수 있습니다. ●————————● (끝점이 채워짐) 닫힌 구간이 있다면 열린 구간이 있겠죠? 열린 구간은 a○————————○ (끝점이 열려있음) a https://ww.. 2025. 8. 30.
[확률과 통계 기초] 3-38. 연속확률분포의 기댓값 우리는 지난 시간에 연속확률분포의 일종인 균등분포를 배웠습니다. 균등분포를 요약하는 통계량인 기댓값과 분산을 구할 차례입니다. 그 전에 연속확률분포의 기댓값과 분산을 구하는 방법을 먼저 배우고, 균등분포에 적용해보겠습니다. 우리는 이미 확률분포의 기댓값과 표준편차를 구한 적이 있습니다. 이산확률분포의 기댓값과 표준편차를 구했었습니다. 이산확률분포의 기댓값을 구할 때 어떻게 구했었는지 떠올려봅시다. 확률변수 X의 이산확률분포는 아래와 같은 표로 나타낼 수 있습니다. x$x_{1}$$x_{2}$...$x_{n}$p(x)$p_{1}$$p_{2}$...$p_{n}$이산확률분포의 기댓값은 각 확률변수와 확률을 곱해서 전부 더한 값이었습니다. 아래와 같습니다. $ E[X]=x_{1}p_{1}+\cdots +x_{.. 2025. 7. 30.
[확률과 통계 기초] 3-37. 균등분포 확률분포는 확률변수와 확률의 대응관계입니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 대표적인 이산확률분포인 베르누이분포와 이항분포를 배웠습니다. 오늘부터는 연속확률분포에 대해 공부하려고 합니다. 오늘 우리가 배울 연속확률분포는 균등분포입니다. 균등분포는 이름에서도 알 수 있듯 분포가 ‘균등’한 분포입니다. 모든 확률변수가 동일한 확률밀도를 갖습니다. 어떤 연속확률변수 X가 $a \leq X \leq b$ 에서 정의되어 있다고 한다면, X가 a~b 사이 값을 가질 확률밀도가 모두 동일한 분포가 균등분포입니다. 균등분포를 그래프와 수식으로 나타내봅시다. 먼저 그래프입니다. x축이 확률변수, y축을 확률 밀도인 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 확률밀도값은 얼마여야 할까요? 확률밀도.. 2025. 7. 29.
[확률과 통계 기초] 3-33. f(x)에 이름 붙이기 이번시간에는 누적분포함수 $F(x)$를 미분한 $f(x)$를 발견한 과정을 간단히 복습하고, f(x)에 이름을 붙여보겠습니다. 우리는 확률변수에 대해서 배우고 있습니다. 확률변수에는 이산확률변수와 연속확률변수가 있습니다. 이산확률변수의 예로는 “동전을 두개 던져서 앞면이 나오는 횟수” 가 있습니다. 이 확률변수를 X라고 놓겠습니다. 동전을 두개 던질 때 앞면이 나올 수 있는 횟수로는 0,1,2가 있으므로 X는 0,1,2가 될 수 있습니다. X가 될 수 있는 각 값에는 확률이 할당되어 있습니다. 예를 들어 동전을 두 개 던져서 앞면이 0번 나올 확률은 1/4 입니다. 이와 같이 이산확률변수의 각 값에는 확률과 대응되어 있습니다. 이산확률변수에서 각 가능한 값과 그 값이 일어날 확률 사이의 대응관계는 함수.. 2025. 4. 26.
[확률과 통계 기초] 3-23. 표준편차 기호가 시그마인 이유 우리는 지난시간에 표준편차가 아래와 같이 정의된다는 것을 배웠습니다.  $\sigma [X]=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 p_{i}}$표준편차에는 왜 그리스어 시그마를 사용하는걸까요.  표준편차는 영어로 standard deviation 입니다. 첫 글자인 s를 따서 지으려고 하다가 그리스어가 더 멋있어 보였던것 같습니다. 아니면 그리스어를 따서 이름을 붙이는 유행(?)같은게 있었을 수도 있구요.  영어 s와 발음이 같은 그리스어 시그마의 소문자 $\sigma$ 를 표준편차를 나타내는 기호로 사용하게 되었습니다. 대문자 시그마 $\sum$는 합의 시그마기호로 사용된다는걸 배웠었죠.   이후에 모집단과 표본을 배우게 되면 표준편차 기호가 하나 더 필요해집니다. 이때부터는 모집단.. 2024. 7. 18.
[확률과 통계 기초] 3-17. 이항분포의 기댓값 지난시간에 살펴본 이항분포 예시를 다시 가져와봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다. $p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 여기서 한가지 질문을 던질 수 있습니다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 자유투가 몇번정도 들어갈 것이라고 기대할 수 있을 것인가? 라는 질문입니다. 이 질문에 답하기 위해 조금 더 간단한 상황을 가정해보겠습니다. 우리가 동전을 하나 던져서 앞면이 나오면 100원을, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 한다고 해봅시다. 동전을 하나 던질 때 얼마를 받을 것으로 기대할 수 .. 2024. 6. 19.
다중회귀분석에서 왜 수정된 결정계수를 사용하는가? 결정계수는 회귀모델의 독립변수들이 종속변수를 얼마나 잘 설명하고 있는지를 말해준다. 결정계수가 높을 수록 독립변수들이 종속변수를 잘 설명하는 것이다. 그런데 우리는 결정계수가 아니라 수정된 결정계수를 사용한다. 그 이유가 무엇일까? 회귀분석에서는 독립변수가 늘어날 수록 결정계수 가 증가한다. 거지같은(?) 독립변수가 추가되더라도, 결정계수 는 항상 올라간다. 별로 유의하지 않고, 목적에 적합하지 않은 변수라고 해도 결정계수 가 증가하는 것이다. 따라서 결정계수로는 좋은 모델을 선별할 수 없다. 이런 이유로 수정된 결정계수가 등장했다. 수정된 결정계수는 독립변수 개수에 대해 패널티를 부여한다. 독립변수가 많아지면 의도적으로 회귀계수를 감소시키는 것이다. 이렇게 되면, 정말 의미 있는 독립변수라야 수정된 회.. 2023. 10. 24.
[통계 Q&A] 푸아송분포 문제1 (식당 손님 문제) Q) 어느 식당에 손님이 한시간에 평균 4명이 옵니다. 3시간 동안 10명 이상이 올 확률은 얼마인가요? A) 푸아송분포의 수식은 아래와 같습니다. $p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ 람다($\lambda$)는 단위시간당 평균발생횟수 입니다. 위 문제에서 단위시간을 1시간으로 놓으면 람다는 4입니다. 단위시간을 3시간으로 놓으면 람다는 12입니다. 단위시간을 3시간으로 놓고 푸아송분포를 구하면 아래와 같습니다. $p(x)=\frac{12^x e^{-12}}{x!}$ 10명 이상이 올 확률은 아래와 같습니다. $P[X \geq 10]=p(10)+p(11)+p(12)+\cdots$ 무한히 많은 항을 계산해야 합니다. 여사건의 확률을 이용합시다. 아래와 같습니다. $P[.. 2023. 4. 10.
[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (2) 유도 우리는 지난시간에 확률변수 T를 유도했습니다. T는 아래와 같습니다. $T=Z\frac{1}{\sqrt{V}}\sqrt{n}$ 위 식에서 Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 V는 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 이어서 우리는 Z와 V의 결합확률분포를 유도했습니다. 아래와 같습니다. $f_{Z,V}(z,v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}} }v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{v}{2}}$ 오늘은 위 분포를 이용해서 t분포를 유도할겁니다. 확률변수의 변수변환이라는 테크닉을 사용할 건데요. 먼저 유도 아이디어를 간단히 설명하겠습니다. 크게 두 단계로 구분됩니다.. 2023. 3. 29.
[수리통계학] #40. 이변량 확률분포 (결합확률분포) 우리는 24강에서 확률변수가 무엇인지 배웠습니다. 확률변수는 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수입니다. 26~27강에서는 확률분포함수를 배웠습니다. 확률분포는 확률변수를 확률에 대응시키는 함수입니다. 오늘은 이변량 확률분포를 배울 것인데요. 이변량 확률분포는 확률변수의 쌍을 확률에 대응시키는 함수입니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 두개 던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. $S={HH,HT,TH,TT}$ 두 확률변수 $X_{1}$과 $X_{2}$ 를 아래와 같이 정의합시다. $X_{1}$ : 앞면이 나온 횟수 $X_{2}$ : 뒷면이 나온 횟수 순서쌍 $(X_{1},X_{2})$ 의 집합을 D라고 한다면, D는 아래와 같습니다. $D=\left \{ (2,1),(1,1),(0,2) \righ.. 2023. 2. 13.
모집단이 정규분포를 따르면 표본평균은 항상 정규분포를 따를까? 모집단이 정규분포를 따른다면 표본평균은 항상 정규분포를 따르는지 알아봅시다. 결과부터 말씀드리면 'yes' 입니다. 1. 모집단의 확률변수 정규분포를 따르는 모집단의 원소를 확률변수 X라고 놓겠습니다. 이해되시는 분들은 2번으로 넘어가시면 됩니다. 모집단의 원소를 확률변수로 놓는 것에 익숙하지 않은 분들을 위해 간단한 예시로 설명하겠습니다. 아래와 같은 숫자 카드 5장으로 모집단을 만들어봅시다. 1,2,3,3,3 모집단의 원소를 변수 X로 놓을 수 있습니다. X는 1,2,3 이 될 수 있습니다. 이때 각 값에는 확률이 부여되어 있습니다. 각 확률은 아래와 같습니다. P[X=1]=1/5 P[X=2]=2/5 P[X=3]=3/5 따라서 모집단의 원소를 확률변수 X로 놓을 수 있습니다. 2. 정규분포를 따르는 .. 2023. 1. 14.
t분포 글 하나로 끝내버리기 1. 어디에 사용되나요?t분표는 t검정에 사용됩니다. t검정이 분산분석의 사후분석, 상관분석, 회귀분석 과정에도 사용되기 때문에 t분포가 이러한 검정에서 사용된다고 할 수 있습니다. 2. 어떻게 생겼나요? t분포 함수의 수식은 아래와 같습니다. $f(t)=\frac{\Gamma\left ( \frac{\nu+1}{2} \right )}{\sqrt{\nu \pi}\ \Gamma\left ( \frac{\nu}{2} \right )} \left ( 1+\frac{t^2}{\nu} \right )^{-\left ( \frac{\nu+1}{2} \right )}$ t분포의 모양을 결정하는 파라미터는 $\nu$ 하나밖에 없습니다. $\nu$는 자유도입니다. 표본 크기가 n 인 경우 자유도 $\nu$는 n-1입.. 2023. 1. 14.
[통계 기호의 이해] 3. E[X] 는 함수가 아닙니다 기댓값 기호 $E[X]$를 함수로 오해하시는 경우가 있습니다. 먼저 아래 질문에 답해보면서 오해하고 있는건 아닌지 확인해봅시다. Q) 확률변수 X의 확률 밀도함수를 $f(x)$ 라고 한다면, 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. $E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 이때, 확률변수 3X의 기댓값을 아래와 같이 계산하는게 맞나요? $E[3X]=\int_{-\infty}^{\infty}3xf(3x)dx$ 정답은 '틀렸다' 입니다. 위와 같은 계산이 왜 틀렸는지 지금부터 알아봅시다. $E[X]$ 는 함수가 아니라 'X의 기댓값'을 기호로 나타낸 것입니다. X의 기댓값이라는 말을 매번 쓰기 귀찮으니 $E[X]$ 로 표현하기로 한 것입니다. X의 기댓값이 구해지는 과정을 .. 2022. 9. 30.
[통계 적률의 이해] 16. 특성함수가 항상 존재하는 이유 적률생성함수가 존재하지 않는 경우에는 특성함수를 사용할 수 있습니다. 특성함수는 모든 확률분포에 대해 존재하기 때문입니다. 오늘은 정말 그러한지를 증명해봅시다. 먼저 특성함수가 존재한다는 의미가 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 특성함수가 존재한다는 것은 t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 의미입니다. 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itx} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ .. 2022. 9. 23.
[통계 기호의 이해] 2. P[X≤x] 형태의 부등식에 익숙해져야 하는 이유 우리는 지난시간에 아래 기호의 의미를 배웠습니다. $P[X=x]$ 이 기호는 확률변수 X가 어떤 값 x일 확률을 나타냅니다. 대문자 X는 확률 변수를 나타내구요. 소문자 x는 발생한 값을 나타냅니다. 그런데 이 표현은 모든 확률변수에 적용될 수 없습니다. 이 표현은 이산확률변수에만 적용 가능한 표현방법입니다. 연속확률변수는 x라는 값이 확률을 갖지 않습니다. 연속확률변수에서 각 값이 발생할 확률은 항상 0입니다. 연속확률변수는 확률 대신 확률 밀도 값을 갖습니다. 확률 밀도 값은 어떤 구간에 대해 적분했을 때 확률이 되는 값입니다. 표준 정규 분포를 예로 들겠습니다. 아래 그림을 봅시다. 표준정규분포 함수입니다. 표준정규분포의 함수값은 확률이 아닌 확률밀도입니다. 이 분포를 따르는 확률변수를 X라고 한다.. 2022. 9. 18.
[통계 적률의 이해] 14. 적률생성함수가 없는 분포도 있다 모든 확률분포에서 적률생성함수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 도 있습니다. 오늘은 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포를 한가지 알아봅시다. 아래와 같은 확률분포인데요. Cauchy 분포의 일종입니다. $f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$ Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. $f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$ 위에서 소개한 분포는 Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. 지금부터 아래 분포의 적률생성함수를 구해봅시다. $f(x)=\frac{1.. 2022. 9. 12.
[통계 적률의 이해] 12. 정규분포의 첨도는 왜 3인가 우리는 10강에서 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 11강에서는 정규분포의 중심적률생성함수로 구한 2,3차 중심적률을 이용하여 정규분포의 왜도를 구했습니다. 지난시간에 구한 2,3차 중심적률과 왜도는 아래와 같습니다. $\mu_{2}=\sigma^{2}$ $\mu_{3}=0$ $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}=0$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 첨도를 계산해보려고 합니다. 첨도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\kappa=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^2}$ 4차 중심적률을 .. 2022. 8. 7.
[손으로 푸는 통계 ver1.0] 101. 종강 및 이후계획 이로써 손으로 푸는 통계 강의가 완료되었습니다. 통계 기초부터 Z검정까지의 내용을 다뤘습니다. 제가 통계 공부를 시작하게 된 이유는 호기심 때문이었습니다. 회사에 와서 t검정을 갑자기 사용하게 되었고 어느 순간 t검정 사용에 익숙해져 있었습니다. 하지만 정작 t검정이 어떤 절차로 진행되는지 그 원리는 전혀 모른채 사용했습니다. 엑셀이나 SPSS에서 버튼 몇개를 클릭하거나 R이나 파이썬에서 간단한 코드를 입력하면 결과를 쉽게 출력할 수 있었습니다. 결과에서는 p값만 보면 됐습니다. 0.05보다 작으면 '유의차가 있다'고 판단했고 제 지식은 거기까지였습니다. 그러다 문득 t검정이 어떤 원리로 수행되는지 궁금했습니다. 그렇게 손으로푸는 통계라는 강의를 시작하게 되었습니다. 제가 궁금한 내용을 공부하기 위해 시.. 2022. 7. 22.
정규분포를 따르는 확률변수의 실수배 aX 의 분포 변수 X가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $X \sim N \left( \mu,\sigma^{2} \right)$변수 X에 상수를 곱한 aX는 어떤 분포를 따르는지 알아봅시다. a는 양수라고 가정합시다. aX를 확률변수 Y라고 놓겠습니다. $Y=aX$Y의 누적분포함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다. $G(y)=P\left[ Y \leq y \right]$aX=Y 를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. $G(y)=P\left[ aX \leq y \right]$ a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다. a가 양수인 경우부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. $G(y)=P\left[ X \leq \frac{y}{a} \righ.. 2022. 7. 16.
[손으로 푸는 통계 ver1.0] 90. 표본분산의 분포 시뮬레이션 (3) 누적분포함수 비교 지난 글에서 표본분산의 분포를 히스토그램으로 그려보았습니다. 모집단을 설정하고 실제 표본을 뽑아서 그린 히스토그램과 표본크기에서 1을 뺀 자유도를 갖는 카이제곱분포 함수를 그렸다. 모집단이 균등분포를 따르는 경우 표본분산의 분포와 카이제곱분포는 잘 일치하지 않았습니다. 위에 그린 함수는 확률밀도함수인데요. 표본분산의 분포를 그릴 때 히스토그램 형태로 그려야 하기 때문에 구간 간격에 따라 모양이 조금씩 달라집니다. 누적분포함수로 그릴 경우 이러한 문제가 없어지기 때문에 누적분포함수로도 그려보려고 합니다. 실험 방법은 앞의 글과 동일합니다. 모집단은 네 가지 종류로 설정했습니다. 모집단1 : 1~10 의 자연수. 1:10으로 표기 모집단2 : 1~1000 의 자연수. 1:1000으로 표기 모집단3 : 표준정.. 2022. 6. 8.
균등분포로 동전 던지기 확률, 주사위 던지기 확률 생성하기 균등분포를 이용하면 동전이나 주사위 확률 생성기를 만들 수 있습니다. 듣고 보면 간단하고 당연한 이야기 이긴 한데, 기억해 놓으면 어딘가 유용하게 써먹을 수 있을겁니다. 먼저 동전 확률을 만들어봅시다. 확률변수 X가 0~1 사이 값을 갖는 표준균등분포를 따른다고 할 때, 0~0.5 사이의 값이 나오면 앞면, 0.5~1 사이의 값이 나오면 뒷면이라고 놓으면 됩니다. $X = \begin{Bmatrix} head & 0 2021. 12. 31.
[손으로 푸는 통계 ver1.0] 79. aX가 정규분포를 다를 때, X도 정규분포를 따를까 변수 aX가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $aX \sim N \left( \mu,\sigma^{2} \right)$ aX의 확률밀도함수를 f(ax), 누적분포함수를 F(ax)라고 놓겠습니다. F(ax) 는 아래와 같이 정의됩니다. P[aX 2021. 11. 22.
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