반응형 통계 강의93 [손으로 푸는 통계] 11. 적률생성함수 (중심극한정리를 위한 재료 #2) 우리는 중심극한정리를 증명하기 위해 필요한 사전지식들을 공부하고 있습니다. 지난시간에는 테일러급수가 무엇인지 배웠구요. 이번시간에는 적률생성함수가 무엇인지 배워보겠습니다. 적률생성함수는 말 그대로 '적률'을 생성하는 함수입니다. 적률이 무엇인지 부터 알아야 합니다. 적률(Moment) 수학에서 적률은 아래와 같이 정의됩니다. n차적률이라고 부릅니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( x-c \right )^nf(x)dx$ 수학에서 정의된 적률이라는 개념을 통계학에 적용해 봅시다. 먼저 상수 c에 0을 넣습니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty }^{\infty } x^{n} f(x)dx$ 이제 x를 확률변수, f(x)를 확률밀도함수로 해석하면 됩니다. $.. 2018. 3. 24. [손으로 푸는 통계] 10. 테일러 급수 유도하기 (중심극한정리 재료 #1) 중심극한정리를 증명하는 과정에서 테일러급수가 사용됩니다. 오늘은 테일러급수를 유도해보도록 하겠습니다. 테일러급수 설명 테일러급수는 브룩 테일러(Brook Taylor)가 1715년에 처음 소개했습니다. 테일러급수는 무한급수입니다. 어떤 함수를 다항함수로 만들어진 무한급수로 바꿔줍니다. 어떤 함수 $f(x)$에 테일러급수를 적용하면 아래와 같습니다. $f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$ 임의의 점 a에서의 미분값을 이용해서 함수 값을 계산할 수 있게 해줍니다. a근처에서의 함수값을 구할 경우 고차항(H.O.T)들의 크기가 아주 작아지기 때문에, 고차항들을 날려버리고 함수의 근사값.. 2018. 3. 24. [손으로 푸는 통계] 7. 크기가 1인 표본평균의 평균과 분산이 모집단과 같은 이유 증명 3강에서 표본평균의 평균을 계산했던 수식을 가져와봅시다. $E(\bar{X})=E\left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\right )$ $\frac{1}{n}$ 은 상수이므로 밖으로 꺼냅시다. $E(\bar{X})=\frac{1}{n} E\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )$ 우변의 괄호 안 수식을 풀어서 쓰면 아래와 같습니다. $E(\bar{X})=\frac{1}{n} E\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )$ 여기서 우변의 각 항들이 표본들의 n번째 원소를 나타내는 변수입니다. 각 항을 크기가 1인 표본으로 생각할 수 있습니다. 크기가 1인 표본에서는 표본과 표본평균이 같기 때문에, 크기가 1인 표본평균이라는 변수.. 2018. 3. 24. 이전 1 2 3 4 다음 반응형