[손으로 푸는 통계] 10. 테일러 급수 유도하기 (중심극한정리 재료 #1)

중심극한정리를 증명하는 과정에서 테일러급수가 사용됩니다. 오늘은 테일러급수를 유도해보도록 하겠습니다.

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테일러급수 설명

테일러급수는 브룩 테일러(Brook Taylor)가 1715년에 처음 소개했습니다. 테일러급수는 무한급수입니다. 어떤 함수를 다항함수로 만들어진 무한급수로 바꿔줍니다. 어떤 함수 $f(x)$에 테일러급수를 적용하면 아래와 같습니다.

$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$

임의의 점 a에서의 미분값을 이용해서 함수 값을 계산할 수 있게 해줍니다. a근처에서의 함수값을 구할 경우 고차항(H.O.T)들의 크기가 아주 작아지기 때문에, 고차항들을 날려버리고 함수의 근사값을 쉽게 계산할 수 있습니다. 복잡한 함수를 다항함수로 근사시켜주는 아주 유용한 도구입니다. 

아래는 대표적인 예시입니다. 사인함수에 테일러급수를 적용한 것입니다. a는 0을 사용하였습니다. 

$sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$

사인함수가 다항함수가 되었습니다. 항을 많이 사용할 수록, a값인 0에 가까운 함수값을 구할 수록 실제 값에 가까워집니다. 

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테일러 급수 유도

지금부터 테일러급수를 유도해봅시다. 

테일러급수는 미적분의 기본정리에서 유도됩니다. 미적분의 기본정리는 아래와 같습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)=f(x)-f(a)$

위 식을 $f(x)$에 대한 식으로 변형하면 아래와 같습니다. 간단히 이항만 해주면 됩니다.

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)$

우변의 두번째 항을 부분적분을 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$f(x)=f(a)+[(t+c)f'(t)]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}(t+c)f''(t)dt$

적분상수 c자리에 -x를 넣어줍시다. 

$f(x)=f(a)+[(t-x)f'(t)]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)dt$

대괄호 항을 계산합시다. 

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(t)-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)dt$

위 식의 마지막 항에 부분적분법을 적용합니다.(이걸 계속 반복할거에요)

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(t)-\left [ \frac{(t-x)^2}{2}f''(t) \right ]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f'''(t)dt$

대괄호 항을 계산합니다. 

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(t)+ \frac{(x-a)^2}{2}f''(t) -\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f'''(t)dt$

위 식의 마지막 항에 부분적분법을 적용합니다.(한번만 더 합시다)

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(t)+ \frac{(x-a)^2}{2}f''(t) -\left [ \frac{(t-a)^3}{2\cdot 3}f'''(t) \right ]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^3}{2\cdot 3}f''''(t)dt$

대괄호 항을 계산합니다. 

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(t)+ \frac{(x-a)^2}{2}f''(t) + \frac{(x-a)^3}{2\cdot 3}f'''(t)-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^3}{2\cdot 3}f''''(t)dt$

이걸 계속 반복하면 아래 식이 얻어집니다.

$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$

시그마 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\left ( x-a \right )^n$

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대표 예시

참고로 테일러 급수 a 자리에 0을 넣은 급수를 메클로린 급수라고 합니다. 대표적인 메클로린 급수들은 아래와 같습니다.

$e^x=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$

$\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}= x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-...$

$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}= 1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-...$

$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty }x^k = 1+x+x^2+x^3+...$

 

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