[손으로 푸는 통계] 12. 중심극한정리 증명 (#1. 확률분포가 같을 조건)

중심극한정리 증명 (#1. 확률분포가 같을 조건)

지난시간까지 중심극한정리 유도에 사용되는 두가지 재료를 공부해봤습니다. 두 가지 재료는 아래와 같습니다.

- 테일러 급수
- 적률생성함수

중심극한정리는 표본의 크기가 커짐에 따라 '표본 평균'들의 분포가 정규분포에 가까워져 간다는 정리입니다. 표본의 크기가 충분히 클 경우 표본평균의 분포를 정규분포로 가정하는데 사용되는 정리입니다. t검정을 비롯하여 모수적 통계방법들의 기반이 되는 정리입니다. 

중심극한정리를 유도하는 절차는 아래와 같습니다.

#1. 두 확률변수의 적률생성함수가 같다면, 두 확률변수의 분포가 동일함을 보임
#2. 정규분포를 따르는 확률변수의 적률생성함수를 유도함
#3. 표본평균의 적률생성함수를 유도함, 정규분포를 따르는 확률변수의 적률생서함수와 같다는 것을 보임. 

이번 글에서는 첫번째 내용을 다루겠습니다. 

두 확률변수 X와 Y가 있습니다. X의 확률분포함수를 f(x), Y의 확률분포함수를 g(y)라고 놓겠습니다. 이때 각 확률변수의 적률생성함수는 아래와 같습니다.

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx$

$M_{Y}(t)=E(e^{tY})=\int_{-\infty }^{\infty }e^{ty}g(y)dy$

변수 X와 Y를 모두 포함하는 변수를 a라고 놓겠습니다. 위 식은 아래와 같이 바꿀 수 있습니다.

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty }^{\infty }e^{ta}f(a)da$

$M_{Y}(t)=E(e^{tY})=\int_{-\infty }^{\infty }e^{ta}g(a)da$

 

두 확률변수의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\int_{-\infty }^{\infty }e^{ta}f(a)da=\int_{-\infty }^{\infty }e^{ta}g(a)da$

 

좌변으로 이항하고 적분식을 합쳐줍니다.

 

$\int_{-\infty }^{\infty }\left (e^{ta}f(a)-e^{ta}g(a)  \right )da=0$

 

$e^ta$로 묶어줍니다.

 

$\int_{-\infty }^{\infty } e^{ta} \left (f(a)-g(a)  \right )da=0$

 

t에 상관없이 등식이 성립해야 하므로 $f(a)=g(a)$ 여야 합니다. 

 

따라서 두 확률변수의 적률생성함수가 같다면 두 확률변수의 확률분포도 같습니다. 

 

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