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확률과 통계63

[확률과 통계 기초] 3-52. 이항분포,균등분포,정규분포의 기호 이번 시간에는 우리가 배운 확률분포들을 기호를 이용해서 간단히 나타내는 방법을 배워봅시다. 먼저 이항분포를 간단히 나타내는 방법을 알아봅시다. 이항분포의 모수는 n과 p이고, 이항분포는 영어로 Binomial distribution 이므로 학자들은 아래와 같은 기호를 만들었습니다. $B(n,p)$ 시행 횟수가 n이고 성공확률이 p인 이항분포라는 뜻입니다. 예를 들어 시행 횟수가 50이고, 성공확률이 1/6인 이항분포는 아래와 같이 나타냅니다. $B(50,\frac{1}{6})$ 말로 길게 설명하지 않아도, 수식을 적지 않아도 간단한 기호로 이항분포를 나타낼 수 있게 된 것입니다. 위 기호는 이항분포를 만드는 데 필요한 모든 정보를 담고 있습니다. 이번에는 균등분포를 기호로 나타내봅시다. 균등분포의.. 2026. 9. 12.

[확률과 통계 기초] 3-51. 균등분포의 모수 우리는 지난시간에 모수가 무엇인지 배우고, 이항분포와 정규분포의 모수를 구해보았습니다. 이번 시간에는 균등분포의 모수를 구해봅시다. 균등분포는 확률변수가 한가지 동일한 확률밀도값을 갖는 분포입니다. 확률밀도함수 그래프를 보면, 더 쉽게 이해가 되실 겁니다. 구간 [a,b] 에서 정의된 균등분포의 그래프는 아래와 같습니다. a,b가 정해지면 확률밀도함수 값도 정해집니다. 여기서 우리는 a와 b만 있으면 균등분포가 결정된다는 것을 알 수 있습니다. 모수는 확률분포를 결정하는 값이었죠. 따라서 균등분포의 '모수'는 a와 b입니다. 오늘은 균등분포의 모수가 무엇인지 알아보았습니다. 다음시간에는 이항분포, 균등분포, 정규분포를 기호로 간단히 나타내는 방법을 배워보겠습니다. 2026. 9. 5.

[확률과 통계 기초] 3-50. 분포를 결정하는 파라미터(모수) 오늘은 파라미터라는 것을 배워볼 겁니다. 파라미터는 확률함수의 모양을 결정하는 값입니다. 어쩌면 우리가 이미 알고 있는 것인데, 그것에 이름을 붙인 것입니다.이항분포에서 파라미터를 찾아봅시다. 시행 횟수가 n이고, 성공확률이 p인 이항분포의 확률질량함수는 아래와 같습니다. $p(x)=_{n}C_{x} \ p^{x}(1-p)^{n-x}$ 우변을 봅시다. 함수값에 영향을 주는 것에는 x, p, n이 있습니다. x는 확률변수에 해당되는 값이라서 함수에 넣는 입력이지 함수의 모양을 결정하지는 않습니다. 함수의 모양을 결정하는 값은 n 과 p 입니다. n과 p가 바뀌면 함수의 모양이 바뀝니다. n과 p가 이항분포의 파라미터입니다. 이번에는 정규분포로 가봅시다. 정규분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=.. 2026. 8. 30.

[확률과 통계 기초] 3-49. 이항분포의 평균과 분산 공식 정규분포를 배우고 있었는데요. 이항분포에서 중요한 내용 하나를 아직 다루지 않아서 잠깐 이항분포로 돌아가겠습니다. 이항분포의 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있는 공식을 배워봅시다. 이항분포는 이산확률분포에 속합니다. 먼저 이산확률분포의 평균과 분산을 구하는 방법을 복습하겠습니다. 이산확률변수인 X의 확률질량함수를 p(x) 라고 놓고, X는 $x_{1}$ 부터 $x_{k}$ 까지의 값을 갖는다고 합시다. 확률변수 X의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. $E[X]=x_{1}\times p(x_{1})+\cdots+x_{k} \ p(x_{k})=\sum_{i=1}^{k}x_{i}p(x_{i})$ 분산은 아래와 같이 정의됩니다. $V[X]=\sum_{i=1}^{k}(x_{i}-E[X])^2 \ p(x_{i}.. 2026. 8. 22.

[확률과 통계 기초] 3-47. 정규분포의 그래프 지난 시간에 우리는 가우스가 정규분포를 유도한 과정을 살펴봤습니다. 직접 유도하는 것은 기초강의의 수준을 넘어가기 때문에 과정만 간단히 알아보았습니다. 가우스가 유도한 정규분포의 수식은 아래와 같습니다. $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-m) ^2}{2\sigma^2}} $$ 오늘은 이 수식의 그래프를 그려보겠습니다. 수식의 의미는 다음시간에 자세히 다뤄보도록 할게요. 처음부터 위 함수를 그리기는 너무 어렵습니다. 가장 단순한 형태부터 출발합시다. 가장 단순한 형태는 아래와 같습니다. $$ f(x)=e^{-x^2} $$ 이 함수는 자연상수 e를 밑으로 하는 지수함수입니다. e는 약 2.7정도의 값을 갖는 무리수입니다. 위 함수의 형태를 대략적으로 .. 2026. 1. 24.

[확률과 통계 기초] 3-46. 정규분포의 발견 (3) 오차의 분포로 부터 우리는 정규분포가 발견된 경로가 두 가지 있다는 것을 배웠습니다. 하나는 이항분포를 통한 발견입니다. 드무아브르와 라플라스는 이항분포에서 n을 무한대로 보내면, 이항분포가 표준정규분포에 수렴한다는 것을 증명했습니다. 다른 하나의 경로는 가우스가 발견했습니다. 이번 시간에는 가우스가 정규분포를 발견한 과정을 알아봅시다. 우리가 어떤 대상을 측정하는 상황을 생각해봅시다. 아무리 정밀하게 측정하려고 해도, 측정할 때마다 결과가 미세하게 달라질 것입니다. 이는 측정오차 때문입니다. 가우스는 이 측정오차의 분포를 구하고 싶었습니다. 어떤 대상을 측정하는 상황을 수식을 이용하여 표현해보겠습니다. 우리가 어떤 대상의 길이를 n번 측정했을 때, 측정 결과는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $x_{1}$, $x_{2.. 2025. 12. 26.

[확률과 통계 기초] 3-45. 정규분포의 발견 (2) 이항분포로 부터 1738년, 드무아브르는 n이 무한히 커지면, p=1/2 일때 이항분포가 종 모양의 곡선에 가까워져 간다는 것을 증명했습니다. 이 종 모양의 곡선이 표준정규분포입니다. 1812년 라플라스는 p를 0과 1 사이로 일반화시켰습니다. 동전던지기 예시를 가지고 이항분포에서 n이 커질 때, 종 모양의 곡선이 되는지 시험해봅시다. 동전던지기 예시의 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_nC_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\left( \frac{1}{2} \right)^{n-x} $$ 동전을 세번 던질때 확률분포를 그래프로 그려봅시다. 동전을 세번 던질 때 이항분포 함수는 아래와 같습니다. $$ p(x)=_3C_x \left( \frac{1}{2} \right)^{x}\.. 2025. 11. 22.

[확률과 통계 기초] 3-44. 정규분포의 발견 (1) 프롤로그 우리는 확률 분포를 배우고 있습니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 이산확률 분포 중에서 대표적인 두가지 분포를 배운 상태입니다. O 이산확률분포 - 베르누이분포 - 이항분포 베르누이 분포는 시행의 결과가 성공, 실패 두가지인 베르누이 시행을 한번 한 결과의 분포입니다. 성공은 X=1, 실패는 X=0 으로 뒀을 때 X의 분포입니다. 동전던지기가 대표적인 베르누이 시행입니다. 앞면을 성공, 뒷면을 실패로 두면 동전 던지기 시행의 결과는 성공(앞면)과 실패(뒷면) 두가지 중 하나입니다. 베르누이 분포를 일반화 시켜보면, 성공 확률이 p인 시행을 한번 했을 때의 분포입니다. 이항분포는 베르누이 시행을 여러번 반복했을 때의 분포입니다. 각 시행은 서로 독립적이라는 조.. 2025. 11. 17.

[확률과 통계 기초] 3-43. 가능성이 변하는 연속확률변수의 확률함수 이전 글에서 ‘가능성이 변하는 연속확률변수’에 대해 이야기한 적이 있습니다. 몸무게가 변하는 약 예시였는데요. 먹으면 몸무게가 60~100kg 으로 랜덤하게 변하는 약이 있을 때, 60kg으로 변할 가능성이 가장 작고 100kg에 가까워질 수록 가능성이 커진다고 가정했습니다. 약을 먹고 변한 몸무게를 확률변수 X라고 놓았을 때, X의 확률함수는 무엇인가? 라는 의문이 있었지만 해결하지 못했었습니다. 이제 우리는 확률밀도함수가 무엇인지 배웠으니, 위 예시를 수식으로 표현할 수 있습니다. 먼저 확률밀도함수를 아래와 같이 그릴 수 있습니다. 가능성은 직선형태로 증가한다고 가정하겠습니다. 이제 a와 b를 구해야 합니다. 전체 확률이 1이 되어야 하므로 아래 그림의 넓이 S가 1이어야 합니다. 아래 그림처럼 .. 2025. 10. 16.

[확률과 통계 기초] 3-42. 균등분포의 평균, 분산, 표준편차 우리는 연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 방법을 배운 상태입니다. 어떤 연속 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x) 라고 했을 때 평균, 분산 표준편차는 아래와 같이 계산합니다. $$ E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ $$ V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2f(x)dx $$ $$ \sigma[X]=\sqrt{V[X]} $$ 이제 우리가 배운 개념을 균등분포에 적용해봅시다. [a,b]에서 정의된 균등분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. $$ f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & otherwise \\\end{matrix}\right. $$ 평균을 먼저 .. 2025. 10. 7.

[확률과 통계 기초] 3-41. 연속확률 분포 적분구간을 무한대로 해도 되는 이유 연속확률분포의 기댓값 수식을 살펴봅시다. 연속확률분포의 기댓값 : $\int_{a}^{b}xf(x)dx$ 위 확률분포는 $[a,b]$에서 정의된 확률분포입니다. 그 외의 값은 0입니다. 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 모양은 임의로 표현했습니다. $[a,b]$ 이외 구간에서 $f(x)$의 값은 0입니다. 따라서 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분을 해도 나머지 구간의 적분값은 0이 나오므로 $[a,b]$에서 적분한 것과 결과가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $$ \int_{a}^{b}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx $$ 확률밀도함수를 적분하여 평균이나 분산을구할 때, 구간을 $[-\infty, \infty]$ 로 설정해주면 됩니.. 2025. 9. 4.

[확률과 통계 기초] 3-39. 연속확률분포의 분산과 표준편차 지난시간에 연속확률분포의 기댓값을 구했습니다. 이산확률분포의 기댓값과 연관지어 구했었고 두 분포의 기댓값은 아래와 같습니다. 이산확률분포의 기댓값 : $\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ 연속확률분포의 기댓값 : $\int_{a}^{b}xf(x)dx$ 이산확률분포 기댓값 수식에서 p 대신 f(x)dx 를 넣고, 시그마 대신 적분 기호를 쓰면 연속확률분포의 기댓값이 됩니다. 연속확률분포의 분산과 표준편차도 같은 방법으로 구해봅시다. 먼저 이산확률변수의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. m 은 기댓값입니다. 이산확률분포의 분산 : $\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-m \right )^2 p_{i}$ 연속확률분포의 분산은 아래와 같이 구합니다. 위 식에서 p 대신 f(x).. 2025. 7. 31.

[확률과 통계 기초] 3-38. 연속확률분포의 기댓값 우리는 지난 시간에 연속확률분포의 일종인 균등분포를 배웠습니다. 균등분포를 요약하는 통계량인 기댓값과 분산을 구할 차례입니다. 그 전에 연속확률분포의 기댓값과 분산을 구하는 방법을 먼저 배우고, 균등분포에 적용해보겠습니다. 우리는 이미 확률분포의 기댓값과 표준편차를 구한 적이 있습니다. 이산확률분포의 기댓값과 표준편차를 구했었습니다. 이산확률분포의 기댓값을 구할 때 어떻게 구했었는지 떠올려봅시다. 확률변수 X의 이산확률분포는 아래와 같은 표로 나타낼 수 있습니다. x$x_{1}$$x_{2}$...$x_{n}$p(x)$p_{1}$$p_{2}$...$p_{n}$이산확률분포의 기댓값은 각 확률변수와 확률을 곱해서 전부 더한 값이었습니다. 아래와 같습니다. $ E[X]=x_{1}p_{1}+\cdots +x_{.. 2025. 7. 30.

[확률과 통계 기초] 3-37. 균등분포 확률분포는 확률변수와 확률의 대응관계입니다. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 우리는 대표적인 이산확률분포인 베르누이분포와 이항분포를 배웠습니다. 오늘부터는 연속확률분포에 대해 공부하려고 합니다. 오늘 우리가 배울 연속확률분포는 균등분포입니다. 균등분포는 이름에서도 알 수 있듯 분포가 ‘균등’한 분포입니다. 모든 확률변수가 동일한 확률밀도를 갖습니다. 어떤 연속확률변수 X가 $a \leq X \leq b$ 에서 정의되어 있다고 한다면, X가 a~b 사이 값을 가질 확률밀도가 모두 동일한 분포가 균등분포입니다. 균등분포를 그래프와 수식으로 나타내봅시다. 먼저 그래프입니다. x축이 확률변수, y축을 확률 밀도인 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 확률밀도값은 얼마여야 할까요? 확률밀도.. 2025. 7. 29.

[확률과 통계 기초] 3-36. 우리가 공부할 연속확률분포들 우리는 확률분포를 공부하고 있습니다. 확률분포는 확률변수가 확률과 어떻게 대응되어 있는지를 나타냅니다. 확률분포는 두 가지로 나뉘었는데요. 이산확률분포와 연속확률분포입니다. 확률분포 - 이산확률분포 - 연속확률분포 우리는 대표적인 이산확률분포인 베르누이분포와 이항분포를 배웠습니다. 베르누이분포는 시행의 결과가 성공과 실패 두가지이고 성공이면 1, 실패면 0을 취하는 확률변수의 분포입니다. 이런 시행을 예로 들면 빨간 공과 까만 공이 섞여 있는 상자에서 공을 하나 꺼내는 시행이 있습니다. 시행 결과가 빨간 공과 까만 공 두가지 입니다. 빨간공이 나올 확률이 p이고, 빨간 공이 나온 사건을 성공이라고 합시다. 빨간 공이 나오면 1, 까만 공이 나오면 0을 취하는 확률변수 X를 정의하면, 확률.. 2025. 7. 11.

[확률과 통계 기초] 3-35. 연속확률분포 우리는 지난시간까지 확률밀도함수를 배웠습니다. 확률밀도함수는 연속확률변수의 확률함수인데요. 이번시간에는 연속확률변수의 확률분포인 연속확률분포를 배워보겠습니다. 확률함수와 확률분포의 차이가 무엇인지 기억나지 않는 분들을 위해 확률분포와 확률함수를 복습해봅시다. 확률분포는 확률변수와 확률의 대응관계를 말합니다. 표로 나타낼 수도 있고 그래프로 나타낼 수도 있고 수식으로 나타낼 수도 있습니다. 확률분포를 함수 형태의 수식으로 나타낸 것을 확률함수라고 부릅니다. 확률 분포가 더 넓고 개념적인 의미입니다. 확률함수는 수식이구요. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 연속확률변수의 확률분포가 연속확률분포이고, 이산확률변수의 확률분포가 이산확률분포입니다. 이산확률분포 먼저 살펴봅시다. 동전을 두개 던.. 2025. 6. 25.

[확률과 통계 기초] 3-34. 확률밀도함수 우리는 지난시간에 확률밀도함수를 발견했습니다. 이번시간에는 확률밀도함수와 관련된 내용들을 정리해봅시다. 확률밀도함수는 누적분포함수를 미분한 함수입니다. 수식으로 표현해봅시다. 아래는 누적분포함수입니다 $$ F(x)=P[X \leq x] $$ 누적분포함수를 미분하면 아래와 같습니다. $f(x)$가 확률밀도함수입니다. $$ \frac{d F(x)}{dx}=F'(x)=f(x) $$ 확률밀도함수를 구간 [a,b]에서 적분해 봅시다. $$ \int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a) $$ 우변은 b 까지의 확률에서 a까지의 확률을 뺀 것이므로 아래 확률과 같습니다. $$ \int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a) $$ F(b) 는 b까지의 확률이고 F(a)는 a까지의 확률이므로 F(b)-F(a).. 2025. 6. 13.

[확률과 통계 기초] 3-32. 누적분포함수를 미분해보았다 우리는 연속확률변수에서 ‘가능성’이라고 부르는 어떤 것의 정체를 밝혀내는 중입니다. 이 가능성이 무엇인지 이해하기 위해 아래 예시를 다시 봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 이 상황을 나타낸 그래프도 그려보았지만, 우리가 말하는 '가능성'이 무엇인지 이해할 수 없었습니다 . 사람들은 누적분포함수를 미분해 보는 방법을 선택했습니다. 위 예시의 누적분포함수는 다음과 같습니다. $$ F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100) $$ 이 함수를 미분한 결과를 f(x)라고 놓으면 다음과 같습니다. $.. 2024. 11. 28.

[확률과 통계 기초] 3-31. 확률은 아니지만 확률 같은 무언가 우리가 매번 사용하고 있는 예제를 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 여기서 확률변수 X는 확률을 갖지 않습니다. 확률을 갖는 순간 전체 확률이 무한대가 되기 때문입니다. 그런데 우리는 X각 60~100kg 사이로 변할 ‘가능성’이 같다고 말했습니다. 어느 값으로 변하던 그 가능성이 동일하다는 가정을 하고 싶었기 때문입니다. 이 가능성은 확률은 아닙니다. 현재까지 배운 내용으로는 뭐라고 표현할 말이 없어서 가능성이라고 이야기한 것입니다. 하지만 느낌상 확률과 비슷한 무언가라는 것은 알 수 있습니다. 우리는 이 ‘가능성’이 의미하는 것이 무.. 2024. 11. 25.

[확률과 통계 기초] 3-30. 가능성이 변하는 연속확률변수 지난시간에 함께 해결해보려고 했던 궁금증을 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 지금까지는 이 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성이 동일하다고 했었습니다. 60kg 로 변할 가능성과 100kg로 변할 가능성이 동일하다고 놓은 것입니다. 각 몸무게가 발생할 확률은 정의할 수가 없었고, 구간의 확률만 정의할 수 있었습니다. 그래서 누적분포함수를 구했었습니다. 아래와 같습니다. $$ F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100) $$ 이번에는 생각을 달리해봅시다. 60kg으로 변할 가능성이 가장 낮고, 100kg로 갈 수록 가능성이 서서히 높아지다가 100kg 으로 변할 가능성이 가장 높다고.. 2024. 11. 16.

[확률과 통계 기초] 3-28. 연속확률변수의 누적분포함수 연속확률변수에서는 구간의 확률만 정의할 수 있고 개별 값에 대한 확률은 정의되지 않았습니다. 개별 값의 확률이 0이기 때문입니다. 그럼 연속확률변수에서는 확률과 관련된 함수를 정의할 수 없는걸까요. 연속확률변수에서 구간의 확률을 정의할 수 있다는 성질을 이용하면 함수를 정의할 수 있습니다. 지난시간에 사용하던 예시를 가져옵시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 으로 바뀌는 약이 있다고 합시다. 각 몸무게가 될 가능성은 동일합니다. 이때 약을 먹고 몸무게가 60이상 $x$ 이하가 될 확률을 정의할 수 있습니다. $$P[60 \leq X \leq x]$$ 확률은 얼마일까요? 위 구간의 길이인 $x-60$ 을 전체 길이인 40으로 나눠주면 됩니다. 아래와 같습니다. $$P[60 \leq X \leq .. 2024. 11. 4.

[확률과 통계 기초] 3-26. 연속확률변수에서는 확률이 정의되지 않는 이유 우리는 지난시간에 연속확률변수를 배웠습니다. 연속확률변수는 3-5강에서 이미 한번 배웠었는데요. 시간이 많이 지났기 때문에 지난 강의에서 한번 더 복습을 했습니다. 오늘은 연속확률변수에서 각 원소의 확률이 정의되지 않는다는 내용을 배워볼겁니다. 그전에 이산확률변수의 확률분포를 하나 살펴보겠습니다. 이산확률변수에 속하는 이항분포를 배웠던 기억을 떠올려 봅시다. 자유투 성공률이 70%인 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 성공한 횟수를 X로 놓을 때, 확률함수는 아래와 같았습니다. $p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 확률함수를 구해놓으면 원하는 확률변수의 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. X에 궁금한 값을 대입하면 확률이 구해집니다. 연속확률변수에도 이런 확률함수를 구할 수 있.. 2024. 8. 23.

[확률과 통계 기초] 3-25. 연속확률변수 복습 지금까지 우리는 이산확률변수를 배웠습니다. 이산확률변수는 셀 수 있는 확률변수였습니다. 동전을 던져서 나오는 앞면의 수도, 들어간 자유투 개수도 셀 수 있습니다. 하나, 둘, 셋 이렇게 번호를 붙여서 셀 수가 있습니다. 확률변수가 하나 더 있었는데요. 연속확률변수입니다. 앞으로는 연속확률변수에 대해서 배워볼겁니다. 연속확률변수는 셀 수 없는 확률변수입니다. 번호 붙여서 셀 수 없다는 뜻인데요. 예를 한번 들어보겠습니다. 어떤 약이 있습니다. 먹으면 40~100kg 사이의 몸무게로 랜덤하게 바뀌는 약입니다. 각 몸무게가 될 확률은 동일합니다. 여기서 40~100은 40이상 100이하의 '실수'를 의미합니다. 이 약을 먹었을 때 변하는 몸무게를 확률변수 X라고 놓겠습니다. 확률변수 X를 셀 수 있나.. 2024. 8. 12.

[확률과 통계 기초] 3-24. 자료의 분산 vs 확률변수의 분산 우리는 두가지 분산을 배웠습니다. 자료의 분산과 확률변수의 분산입니다. 오늘은 두 분산을 비교해보겠습니다. 자료의 분산은 중학교 수학에서 처음 등장합니다. 우리는 3-21강에서 다뤘습니다. 자료를 예를 들면 아래와 같습니다. {174,177,183,165,157} 다섯 사람의 키 입니다. 다섯사람 키의 평균은 171.2입니다. 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다. $\frac{(174-171.2)^2+(177-171.2)^2+(183-171.2)^2+(165-171.2)^2+(157-171.2)^2}{5}$ 일반화 시켜봅시다. 아래와 같이 원소 개수가 n개인 자료가 있습니다. $\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ 이 자료의 평균을 m이라고 놓으면 분산은 아.. 2024. 7. 29.

[확률과 통계 기초] 3-23. 표준편차 기호가 시그마인 이유 우리는 지난시간에 표준편차가 아래와 같이 정의된다는 것을 배웠습니다. $\sigma [X]=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 p_{i}}$표준편차에는 왜 그리스어 시그마를 사용하는걸까요. 표준편차는 영어로 standard deviation 입니다. 첫 글자인 s를 따서 지으려고 하다가 그리스어가 더 멋있어 보였던것 같습니다. 아니면 그리스어를 따서 이름을 붙이는 유행(?)같은게 있었을 수도 있구요. 영어 s와 발음이 같은 그리스어 시그마의 소문자 $\sigma$ 를 표준편차를 나타내는 기호로 사용하게 되었습니다. 대문자 시그마 $\sum$는 합의 시그마기호로 사용된다는걸 배웠었죠. 이후에 모집단과 표본을 배우게 되면 표준편차 기호가 하나 더 필요해집니다. 이때부터는 모집단.. 2024. 7. 18.

[확률과 통계 기초] 3-22. 이산확률변수의 분산과 표준편차 아래와 같은 확률변수 X가 있다고 합시다. 이 확률변수의 기댓값은 아래와 같이 구합니다. $E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ 확률변수의 분산은 어떻게 구할까요. 분산의 정의를 생각해봅시다. 분산의 정의는 아래와 같았습니다 . “편차의 제곱의 평균” 확률변수에서는 이렇게 바꿔볼 수 있습니다. “편차 제곱의 기댓값” 확률변수의 기댓값은 확률변수에 각 확률을 곱해서 더하는 방식으로 구했습니다. 편차제곱의 기댓값도 같은 방식으로 정의할 수 있습니다. 아래와 같습니다 ... 2024. 7. 17.

[확률과 통계 기초] 3-21. 분산과 표준편차 분산과 표준편차가 무엇인지는 중학교 수학에서 배웠습니다. 내용을 잊으신 분들을 위해 분산과 표준편차가 무엇인지 복습하겠습니다. 아래와 같은 자료가 있다고 합시다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 사람들은 자료를 요약하고 싶었습니다. 자료를 요약하기 위해 자료를 대표하는 값(대푯값)과 자료가 흩어진 정도(분산도)를 정의하고 싶었습니다. 가장 많이 사용되는 대푯값은 평균이고 분산도는 분산입니다. 위 자료의 평균은 아래와 같이 구합니다. $\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10}$ 자료의 흩어진 정도를 나타내기 위해 사람들이 처음 생각한 것은 편차였습니다. 편차는 (변량-평균)입니다. 각 값들이 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 이용해서 분산도를 정의하려고 한 것입니.. 2024. 6. 26.

[확률과 통계 기초] 3-20. 합의 시그마 기호 설명 아래와 같은 시그마 기호를 많이 보셨을겁니다. $\sum$ 이 기호에 아직 익숙하지 않은 분들이 계실 수도 있어서 오늘은 시그마 기호를 설명드리겠습니다. 시그마 기호는 우리를 편하게 해주기 위해 고안되었습니다. 과거도 돌아가서 다른 유니버스를 산다고 해도 반드시 등장했을 기호일겁니다. 수학에서 아주 자주 사용되므로 익숙해지는 것이 좋습니다. 아래 식을 봅시다. 1부터 10까지 더하는 식입니다. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 이 정도는 손으로 다 써도 힘들지 않습니다. 만약 1부터 100까지 더하는 식을 표현하고 싶다고 합시다. 어떻게 쓰실건가요? 저라면 이렇게 쓸 것 같습니다. 1+2+...+99+100 이번에는 다른 예시를 들어봅시다. 1부터 시작해서 3씩 커지는 숫자를 30개 더하고 싶.. 2024. 6. 21.

[확률과 통계 기초] 3-18. 이산확률변수의 기댓값 우리가 지금까지 배운 이항분포는 이산확률변수에 속합니다. 지난시간에 배웠던 이항분포의 기댓값 개념을 이산확률변수로 확장해보겠습니다. 아래와 같은 이산확률변수 X가 있다고 합시다. X$x_{1}$$x_{2}$...$x_{n-1}$$x_{n}$P(X)$p_{1}$$p_{2}$...$p_{n-1}$$p_{n}$ 이 이산확률변수의 기댓값을 구해봅시다. 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 확률변수 X의 기댓값 = $x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n-1}p_{n-1}+x_{n}p_{n}$ 기댓값은 각 확률변수 값과 해당 확률을 곱한 후, 이를 모두 더하여 구하는 것입니다. 시그마 기호를 이용하여 아래와 같이 간단히 나타낼 수도 있습니다. 확률변수 X의 기댓값 = $\sum.. 2024. 6. 19.

[확률과 통계 기초] 3-17. 이항분포의 기댓값 지난시간에 살펴본 이항분포 예시를 다시 가져와봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다. $p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 여기서 한가지 질문을 던질 수 있습니다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 자유투가 몇번정도 들어갈 것이라고 기대할 수 있을 것인가? 라는 질문입니다. 이 질문에 답하기 위해 조금 더 간단한 상황을 가정해보겠습니다. 우리가 동전을 하나 던져서 앞면이 나오면 100원을, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 한다고 해봅시다. 동전을 하나 던질 때 얼마를 받을 것으로 기대할 수 .. 2024. 6. 19.

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