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확률과 통계33

[확률과통계 기초] 3-15. 이항분포 수식 자세한 설명 이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포라는 것을 지난시간에 배웠습니다. 이항분포의 확률분포함수도 아래와 같다는 것을 배웠습니다. $p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$위 식의 유도과정을 자세히 다루지는 않았는데요. 어떻게 위 식이 유도된건지 이해하지 못한 분들이 계실 수도 있어서 이번 시간에 자세히 설명하겠습니다.  1. 예시아주 간단한 예시를 이용해서 위 식을 이해해봅시다. 주사위 던지기 예시입니다. 주사위를 한번 던져서 3이 나오는 사건을 '성공' 나머지를 '실패'라고 두겠습니다. 주사위를 한번 던지는 시행에서 성공할 확률과 실패할 확률은 아래와 같습니다. 성공확률 = $\frac{1}{6}$실패확률 = $\frac{5}{6}$주.. 2024. 4. 24.
[확률과통계 기초] 3-13. 이항분포 배우기 전에 베르누이분포 먼저 우리는 지난시간에 이항분포에서 '이항'이 어떤 의미인지 배웠습니다. 이항은 두개의 항이라는 뜻입니다. 이항분포가 무엇인지 배울 차례인데요. 그 전에 베르누이분포를 먼저 배우겠습니다. 이유는 다음 강의에서 알게되실겁니다. 시행과 사건 기억하시나요? 세번째 시간에 배웠던 시행, 표본공간, 사건의 정의를 가져옵시다. 시행 : 무한히 반복될 수 있고, 잘 정의된 결과 집합을 갖는 행위 표본공간 : 어떤 시행에서 발생할 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합 사건 : 어떤 시행의 결과들의 집합. 확률이 할당되어 있음. 표본공간의 부분집합. 시행,표본공간,사건을 쉽게 기억하는 방법은 주사위 던지기 예시로 기억하는 것입니다. 시행은 주사위던지기이고, 표본공간은 1부터6 까지의 집합이고, 사건은 짝수의 눈이 나오는 사건이.. 2024. 1. 3.
[확률과통계 기초] 3-11. 우리가 배울 두가지 분포 우리는 확률분포를 배우고 있습니다. 확률분포가 두가지로 나눈다는 것도 배웠는데요. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 이산확률분포와 연속확률분포에는 여러가지가 있습니다. 대표적인 분포들은 아래와 같습니다. 이산확률분포 : 이항분포, 기하분포, 음이항분포, 포아송분포, 초기하분포, 다항분포 연속확률분포 : 균등분포, 정규분포, t분포, 카이제곱분포, F분포, 감마분포, 베타분포 뭐가 이렇게 많은건가 싶으실텐데 다 사용되는 분포입니다. 각각의 분포가 어떤 상황에 사용되는지 궁금하신 분들은 [손으로 푸는 확률분포] 강의를 들어보시면 됩니다. 이 강의는 확률과 통계 기초 강의이므로 이산확률분포와 연속확률변수 중에서 각각 하나씩만 배웁니다. 이산확률분포에서는 이항분포, 연속확률분포에서는 정규분포를 .. 2023. 12. 20.
[확률과통계 기초] 3-9. 확률질량함수의 성질 이산확률변수 X의 확률질량함수는 아래와 같습니다. $P\left [ X=x_{i} \right ]=p_{i} \ \ (i=1,2,...,n)$ 이번시간에는 확률질량함수의 세가지 성질을 알아봅시다. 확률은 0이상 1이하의 값을 가지므로 아래와 같은 조건이 성립합니다. (1) $0\leq p_{i} \leq 1$ 각 사건이 발생할 확률의 총 합은 1이므로 아래 조건이 성립합니다. (2) $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$ 이번에는 확률변수 X가 어떤 범위 내에 있을 확률을 구해봅시다. X가 $x_{3}$이상이고 $x_{5}$이하일 확률은 아래와 같습니다. $P\left [ x_{3}\leq X\leq x_{5} \right ]=p_{3}+p_{4}+p_{5}$ 위 식을 일반화시키면 아래와 같.. 2023. 11. 15.
[확률과통계 기초] 3-8. 확률질량함수 (이산확률변수의 확률함수) 우리는 확률변수가 둘로 나뉜다는 것을 배웠습니다. 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수 두 가지로 구분됩니다. 이산확률변수는 확률변수 각각이 확률값을 갖습니다. 연속확률변수는 어떤 구간의 확률만 정의가 가능했습니다. 이산확률변수와 연속확률변수의 확률함수는 정의가 다릅니다. 이산확률변수의 확률함수는 확률질량함수이고 연속확률변수의 확률함수는 확률밀도함수입니다. 이번 시간에는 이산확률변수의 확률함수인 확률질량함수에 대해 배워봅시다. 간단한 예시를 통해 확률질량함수가 무엇인지 알아봅시다. 주사위를 한번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 X라고 놓으면 X는 이산확률변수입니다. 확률함수는 확률변수를 확률과 대응시킨 것을 말합니다. 확률변수 X의 확률함수는 표로 나타낼 수도 있고 그래프로 나타낼 수도 있습니다. 먼저.. 2023. 11. 15.
[확률과통계 기초] 3-4. 확률이 정의되지 않는 확률변수 어떤 확률변수 X가 있구요. 이 확률변수는 1부터 3까지의 실수 구간에 있는 값을 가질 수 있다고 하겠습니다. $1\leq X \leq 3$ 위 구간의 값이 발생할 확률이 같다고 가정하고 아래 확률을 한번 구해봅시다. $P\left [ X=1 \right ]$ 위 확률을 p라고 놓으면 전체 확률은 $p \times \infty$ 가 됩니다. 전체 확률이 무한대이므로 모순입니다. 따라서 확률을 정의할 수 없습니다. 이번에는 아래 확률을 한번 구해봅시다. $P\left [ 1\leq X \leq 2 \right ]$ 확률은 0.5입니다. 전체 구간 중 절반이기 때문입니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 발생할 확률은 정의가 가능했는데, 오늘 살펴본 확률변수는 각 값이 발생할 확률을 정의할 수 없었습니다. 구간의.. 2023. 7. 9.
[확률과통계 기초] 3-3. 확률함수와 확률분포 우리가 계속 사용하고 있는 동전 두개 던지는 예시를 가져옵시다. 동전을 두개 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수로 놓을 수 있었습니다. 확률변수를 X로 놓으면 X가 가질 수 있는 값은 아래와 같습니다. X={0,1,2} 확률변수 X가 각 값을 가질 확률은 아래와 같습니다. $P[X=0]=\frac{1}{4}$ $P[X=1]=\frac{1}{2}$ $P[X=2]=\frac{1}{4}$ 확률변수 X가 가질 수 있는 값들과, 각 값을 가질 확률 사이에 대응관계가 존재합니다. 이 대응관계를 표로 나타내면 아래와 같습니다. X 0 1 2 합계 $P[X=x]$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ 1 이와 같은 대응관계를 '확률분포'라고 부릅니다. 이 대응관계를 p(x)라는 .. 2023. 7. 2.
[확률과통계 기초] 2-10. 2단원 확률 내용 총정리 두번째 파트인 확률파트에서 배운 내용은 아래와 같습니다. 2-1) 사건이 발생할 확률 2-2) 확률의 덧셈정리 2-3) 조건부 확률 설명 및 공식유도 2-4) 확률의 곱셈정리 2-5) 확률의 곱셈정리 직관적으로 이해하기 2-6) 사건의 독립 설명 2-7) 사건의 독립 예시 2-8) 배반사건은 독립인가 종속인가 2-9) 독립시행 간단히 복습해봅시다. 사건이 발생할 확률 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본공간의 부분집합이 사건입니다. 어떤 사건 A가 발생할 확률은 아래와 같습니다. $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 확률의 덧셈정리 확률의 덧셈정리는 사건 A 또는 B가 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건 A 또는 B가 일어날 확률은 아래와 같습니다. $P(A\cup B)=\frac{n(A.. 2023. 5. 25.
[확률과통계 기초] 2-9. 독립시행 독립시행이란? 독립시행은 각각의 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 시행을 말합니다. 주사위를 던지는 사건을 예로 들겠습니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 나올 확률은 1/6 입니다. 주사위를 한 번 던져서 3이 나왔다고 합시다. 이렇게 발생한 결과가 그 다음 주사위를 던질때의 각 눈이 나올 확률에 영향을 주지 않습니다. 주사위를 몇번 던지건 각 눈이 나올 확률은 항상 1/6 입니다. 독립시행 확률 독립시행의 확률을 한번 구해봅시다. 주사위를 5번 연속으로 던져서 1의 눈이 3번 나올 확률을 구해봅시다. 1이 3번 나오는 경우를 예로 들면 아래와 같습니다. 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 4 5 ... 몇가지나 될까요? 총 다섯 자리 중에서 1이 들어갈 세개의 자리를 먼저 뽑.. 2023. 5. 22.
[확률과통계 기초] 2-5. 확률의 곱셈정리 직관적으로 이해하기 확률의 곱셈정리가 아래 두가지 수식이라는 것을 지난시간에 배웠습니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$ $P(A \cap B)=P(B)P(A|B)$ 수학적으로는 유도했지만 와닿지 않을 수도 있어서 직관적으로도 이해하려고 합니다. 어떤 학교에 학생이 100명이라고 합시다. 전체 학생은 남,녀로 분류할 수 있고 다시 문,이과로 분류할 수 있습니다. 벤다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 이 학교에서 학생 한명을 뽑을 때, 남학생이면서 이과일 확률은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. P(이과 ∩ 남) 이과이면서 남학생일 확률은 남학생을 뽑고, 그 남학생들 중에서 이과를 뽑을 확률과 같습니다. 아래와 같습니다. P(이과 ∩ 남) = P(남) X P(이과 | 남) 위 식이 확률의 곱셈정리입니다. 다.. 2023. 1. 20.
[확률과통계 기초] 2-4. 확률의 곱셈정리 확률의 곱셈정리는 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건은 집합이었죠? 두 사건이 동시에 일어난다는 것이 무슨 의미일까요? 사건 A와 B를 벤다이어그램으로 표현해봅시다. 두 사건이 동시에 일어난다는 것은 위 벤다이어그램의 교집합이 발생한다는 것입니다. 따라서 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률은 아래와 같이 표현됩니다. $P(A \cap B)$ 위 식은 조건부 확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있는데요. 위 식을 조건부확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타내는 것이 확률의 곱셈정리입니다. 아래와 같은 두가지 방법이 있습니다. 1) 사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률를 이용 $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 위 식을 $P(A \.. 2023. 1. 20.
[확률과통계 기초] 2-3. 조건부 확률 설명 및 공식유도 어떤 사행의 표본공간 S 라고 합시다. 표본공간의 부분집합인 사건 A와 B가 있다고 합시다. 이때 조건부 확률은 아래와 같습니다. '사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률' 수식으로는 아래와 같이 나타냅니다. $P(A|B)$ 조건부 확률이 어떻게 계산되는지 알아봅시다. 표본공간과 사건 모두 집합이므로 벤다이어그램으로 나타낼 수 있습니다. 사건 B가 이미 발생한 상황이므로, 표본공간은 B가 됩니다. 이때 A가 발생하는 사건은 아래 그림의 노란색 부분입니다. B가 발생했을 때 A가 발생할 확률을 구해보면 아래와 같습니다. $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$ 우변을 각각 확률로 변형해봅시다. 우변의 분자와 분모를 n(S) 로 나눠줍니다. $P(A|B)=\frac{\frac{n(A\ca.. 2023. 1. 10.
[확률과통계 기초] 1-12. 1단원 경우의 수 내용 요약 이 강의는 크게 세개의 단원으로 되어 있는데요. 경우의수, 확률, 통계입니다. 우리는 지난시간까지 경우의 수 공부를 완료했습니다. 우리가 경우의 수 단원에서 배운 내용들은 아래와 같습니다. 시행과 표본공간 사건 순열과 조합 이항정리 한 문장을 표현하면 이렇습니다. "사건은 어떤 시행의 결과들의 집합이고, 사건의 원소 개수가 경우의 수 이다. 경우의 수를 구하는 테크닉에는 순열과 조합이 있다." 저는 1단원에서 가장 중요한 키워드는 '사건'이라고 생각합니다. 우리가 다음 단원에서 확률을 배울 건데요. 확률 앞에는 이런 말이 생략되어 있습니다. (어떤 사건이 발생할) 확률 2단원인 확률 단원도 사실은 사건 이야기입니다. 사건이 발생할 확률을 구하는 것이구요. 사건이 발생할 확률을 구할 때, 사건의 원소 개수.. 2023. 1. 7.
[확률과통계 기초] 1-11. 사건을 잘못 알고 계실지도 몰라요 사건의 정의는 이미 배운 상태인데요. 확률과 통계에서 사건은 아주 중요한 개념이라서 정말 이해했는지 한번 더 확인해보려고 합니다. 확률과 통계에서 사용되는 사건은 우리가 일상적으로 사용하는 사건의 의미와는 다릅니다. 우리가 일상적으로 사용하는 사건의 정의는 아래와 같습니다. 사건 : 사회적으로 문제를 일으키거나 주목을 받을 만한 뜻밖의 일 우리가 '사건이 발생했다' 라고 할 때의 사건은 이미 벌어진 특정한 일을 말합니다. 주로 뉴스에서 많이 듣는 단어죠. 총격 사건, 위반 사건 등에 사용합니다. 반면에 통계에서 사건은 이미 벌어진 일이 아닙니다. 주사위를 던져서 3이 나왔다고 합시다. 3이 나온 상황은 통계에서는 사건이 아닙니다. 일상에서는 발생한 어떤 상황을 지칭할 때 사건이라고 하는데요. 통계에서 사.. 2023. 1. 7.
[확률과통계 기초] 1-10. 사건과 경우의 수는 무엇이 다른가 안녕하세요. 확률과 통계 기초입니다. 사건과 경우의 수의 차이가 무엇인지 설명해보라고 하면 대답하기가 쉽지 않습니다. 사건은 어떤 시행의 결과들의 집합이라는 것을 이미 배웠습니다. 어떤 시행이 주사위 던지기라고 한다면, 홀수의 눈이 나오는 사건, 짝수의 눈이 나오는 사건 등이 있습니다. 그렇다면 경우의 수는 무엇일까요? 경우의 수가 무엇인지 알기 위해 경우의 수를 구하는 문제를 하나 풀어봅시다. "주사위를 하나 던질 때, 3 이상의 눈이 나오는 경우의 수를 구하시오" 3 이상의 눈이 나오는 경우의 수는 3,4,5,6으로 4가지입니다. 이 문제를 사건의 관점으로 풀어봅시다. 3 이상의 눈이 나오는 사건은 {3,4,5,6} 입니다. 이때 경우의 수는 사건의 원소의 개수입니다. 이제 경우의 수가 무엇인지 알았.. 2023. 1. 5.
[확률과통계 기초] 1-7. 조합의 성질 (1) $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 직관적이해와 증명 n개 중에서 r개를 뽑는 조합은 아래와 같이 계산됩니다. $_{n}C_{r}=\frac{n!}{ (n-r)!r!}$ 오늘은 조합의 대표적인 성질 두 가지를 알아봅시다. 이런저런 유도 과정에서 자주 사용되므로, 익숙해져 놓는 것이 좋습니다. 1) $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 2) $_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}$ 오늘은 첫번째 성질을 알아봅시다. n개 중에 r개를 뽑는 것과, n개 중에 n-r개를 뽑는 것이 같다는 성질입니다. 숫자를 넣어보면 아래와 같습니다. $_{5}C_{3}=_{5}C_{2}$ 다섯개 중에 3개를 뽑는 경우의 수와, 5개 중에 2개를 뽑는 경우의 수가 같습니다. 수학적으로 증명하기 전에 직관적으로 이해해봅시다. ABCDE 중에 3개를 뽑.. 2022. 5. 20.
[확률과통계 기초] 1-6. 조합이란 무엇인가 조합이 무엇인지는 '조합'이라는 한 단어로 설명하기는 어렵습니다. 조합은 아래와 같이 사용합니다. 'n개에서 r개를 택하는 조합' '서로 다른 n개 중에서 순서에 상관없이 r개를 선택하는 것' 이라는 뜻입니다. 예를 들어 a,bc 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 조합은 아래와 같습니다. ab ac bc 순열에서는 ab와 ba가 서로 다른 경우였는데, 조합에서는 순서를 고려하지 않으므로 같은 경우입니다. 이렇게 택하는 경우의 수를 조합의 수라고 합니다. 용어 설명 예시 n개에서 r개를 택하는 조합 서로 다른 n개 중에서 순서에 상관 없이 r개를 선택하는 것 a,b,c 에서 2개를 택하는 조합 조합의 수 조합의 경우의 수 3가지 조금 더 복잡한 예시를 통해 조합의 수를 계산해보고 나서 일반화합시다. 알파.. 2022. 5. 20.
[확률과통계 기초] 1-4. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건 우리는 지난시간까지 시행, 표본공간, 사건 이라는 용어를 배웠습니다. 오늘도 용어를 배우는 시간인데요. 네자기 종류의 사건을 배워볼 것입니다. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건입니다. 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 이 말이 이해되시나요? 표본공간은 어떤 시행 결과로 나올 수 있는 전체집합입니다. 주사위를 던지는 시행을 했다면 표본공간은 아래와 같습니다. $S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 주사위 던지기라는 시행의 사건을 몇가지 적어보면 아래와 같습니다. 홀수의 눈이 나오는 사건 = {1,3,5} 짝수의 눈이 나오는 사건 = {2,4,6} 3이상의 눈이 나오는 사건 = {3,4,5,6} 1. 합사건 (사건들의 합집합) 표본공간의 부분집.. 2022. 5. 20.
[확률과통계] 독립사건의 두 가지 맥락 독립사건을 처음 배우는 시기는 고등학교 수학시간입니다. 두 사건 A와 B가 있을 때, 아래 등식을 만족하면 서로 독립입니다. $P(X\cap Y)=P(X)P(Y)$ 주사위를 한 번 던질 때, 아래 두 사건이 독립인지 판단하시오. 라는 문제를 풀었던 기억이 있습니다. $A=\left \{ 1,2,3 \right \}$ $B=\left \{ 4,5,6 \right \}$ 확률을 계산해봅시다. $P(A)=0.5$ $P(B)=0.5$ $P(A\cap B)=0$ 등식이 성립하지 않으므로 독립이 아닙니다. A와 B는 배반사건인데요. 배반사건은 종속이라는걸 기억하시는 분들도 계실겁니다. 위 문제를 아래와 같이 바꿔봅시다. 아래 두 사건이 독립인지 판단하시오. $A=\left \{ 1,2,3 \right \}$ $B=.. 2022. 5. 18.
[확률과통계 기초] 1-2. 사건 지난 시간에는 시행과 표본공간이라는 용어를 배웠습니다. 이번 시간에는 중요한 용어를 한가지 더 배워보겠습니다. 오늘 배워볼 용어는 사건입니다. 사건이 무엇인지 정확하게 이해하기 위해서 위키피디아의 정의를 가져왔습니다. In probability theory, an event is a set of outcomes of an experiment (a subset of the sample space) to which a probability is assigned. 간단히 요약해보았습니다. 사건은 시행 결과들의 집합이다. 이 집합에는 확률이 할당되어 있다. 지난 시간에 배운 표본공간도 시행결과들의 집합이었는데요. 표본공간에는 '가능한 모든' 이라는 말이 붙어있었습니다. 주사위 던지기를 예로 들면, 표본공간은 {.. 2022. 5. 10.
[확률과통계 기초] 1-1. 시행과 표본공간 오늘은 용어를 배워볼 것입니다. 서로 용어를 잘 정의해 놓으면 의사 소통이 편해집니다. 용어가 사용되는 내용들을 설명하기도 쉽고 이해하기도 쉬워집니다. 오늘 배울 용어는 시행과 표본공간이 무엇인지 알아봅시다. 시행이 무엇인지 정확하게 이해하기 위해서 위키피디아의 정의를 가져왔습니다. In probability theory, an experiment or trial (see below) is any procedure that can be infinitely repeated and has a well-defined set of possible outcomes, known as the sample space. 약간의 의역을 가미해서 이해하기 쉽게 번역해봅시다. 확률론에서 시행은 1)무한히 반복될 수 있고 2).. 2022. 5. 9.
같은 것이 있는 순열 / 2020년 수능 수학 가형 28번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 아래 두가지 경우가 가능합니다. (홀수1) (짝수1 짝수1) (짝수2 짝수2) (홀수1) (홀수2) (홀수3) (짝수1 짝수1) 첫번째 경우 경우의 수는 아래와 같습니다. (홀수1개 짝수 2개 뽑음) x (같은 것이 있는 순열로 배열함) $\left ( _{3}C_{1} \times _{3}C_{2} \right ) \times \left ( \frac{5!}{2! \times 2!} \right )=270$ 두번째 경우 경우의 수는 아래와 같습니다. (홀수3개 짝수 1개 뽑음) x (같은 것이 있는 순열로 배열함) $\left ( _{3}C_{3} \times _{3}.. 2021. 6. 16.
이항분포 / 2020년 수능 수학 가형 25번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 a는 {0,1,2,3,4,5} 를 가질 수 있고, b는 {0,1,2,3,4}를 가질 수 있습니다. a-b=3 인 경우는 (5,2) , (4,1), (3,0) 의 세가지입니다. 각 경우의 확률은 아래와 같습니다. $P(a=5,b=2)=\left ( \frac{1}{2} \right )^5 \times _{5}C_{5} \times \left ( \frac{1}{2} \right )^4 \times _{4}C_{2}$ $P(a=4,b=1)=\left ( \frac{1}{2} \right )^5 \times _{5}C_{4} \times \left ( \frac{1}{2} \.. 2021. 6. 15.
이항분포 / 2020년 수능 수학 가형 23번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수 $X$ 의 평균과 분산은 아래와 같습니다. $E(X)=np$ $V(X)=np(1-p)$ 따라서 p는 $\frac{1}{4}$ 입니다. V(X)는 아래와 같이 계산됩니다. $V(X)=80 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 15$ 정답은 15입니다. 풀이 영상 2021. 6. 14.
정규분포의 표준화 / 2020년 수능 수학 가형 18번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 f(12)는 f(10+2) 입니다. 평균이 10, 표준편차가 2이므로, 평균에서 표준편차만큼 떨어진 곳의 함수값입니다. g(20)이 평균에서 표준편차만큼 떨어진 곳의 함수값보다 크려면, 확률변수 Y의 평균은 20에서 표준편차인 2보다 많이 떨어져 있으면 안됩니다. 따라서 위 조건을 만족하는 m의 범위는 아래와 같습니다. $18 \leq m \leq 22$ $P(21 \leq Y \leq 24)$ 의 값은 Y의 평균 m이 21과 24의 중점인 22.5에 가까울 수록 커집니다. 따라서 m이 22일 때 최대값을 갖습니다. $P(21 \leq Y \leq 24)$ 를 표준정규분.. 2021. 6. 10.
표본평균의 평균과 분산 / 2020 수능 수학 가형 14번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 (가) 계산 모분산은 아래와 같이 계산됩니다. $\begin{align} V(X)&=\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-m \right )^{2}p_{i}\\&= \left ( 1-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( 2-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{3}+ \left ( 3-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{2} \\&=\frac{5}{9} \end{align}$ 아래와 같이 간단한 방법으로도 계산할 수 있습니다. $\begin.. 2021. 6. 8.
조합 / 2020 수능 수학 가형 6번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 $\frac{_{3}C_{2} \times _{4}C_{2}}{_{7}C_{4}}=\frac{18}{35}$ 정답은 3번입니다. 2021. 6. 7.
중복조합 / 2021 수능 수학 가형 26번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 기본적인 배치에는 아래 네가지가 있습니다. 배치1 배치2 배치3 배치4 A ●●●● B ● ------ C ●○ D ○ A ●●●● B ●● ---- C ○ D ○ A ●●●● B ●●○--- C ○ D ○ A ●●●●● B ● ------ C ○ D ○ 잔여 ○○○○ 잔여 ○○○ 잔여 ○○○ 잔여 ○○○○ 계산해봅시다. 배치1 계산 잔여 흰공이 A에 3개 오는 경우에는 나머지 1개의 공을 C,D 에 배치해야합니다. 이는 C,D를 한개의 자리에 배치하는 것과 같으므로 중복조합 $_{2}H_{1}$ 입니다. 나머지 경우도 같은 방식으로 계산합니다. A에 흰공 3개 오는 .. 2021. 6. 2.
이항정리 / 2021년 수능 수학 가형 22번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 $x^2$이 나오는 경우를 생각해봅시다. $x$ 네번, $\frac{3}{x^2}$ 한번 곱해지는 경우입니다. 전개했을 때 $x^2$ 항은 아래와 같습니다. $_{5}C_{4}x^4\left( \frac{3}{x^2} \right)^1$ 아래와 같이 계산됩니다. $15x^2$ 정답은 15입니다. 풀이 영상 2021. 5. 31.
확률의 곱셈정리 / 2021년 수능 수학 가형 19번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 아래 두 확률을 구해서 더하면 됩니다. 1) 3을 꺼내고 주사위를 3번 던져서 10이 나올 확률 2) 4를 꺼내고 주사위를 4번 던져서 10이 나올 확률 먼저 1번 부터 계산해봅시다. 1번 확률은 아래 두 확률의 곱입니다. (3을 꺼낼 확률) x (주사위 3번 던져서 10이 나올 확률) 3을 꺼낼 확률은 $\frac{2}{5}$ 입니다. 주사위 3번 던져서 10이 나올 확률을 구하기 위해 먼저 1 이상의 세개의 숫자를 더해서 10이 나올 경우의 수를 계산해봅시다. 아래 아이디어를 이용합니다. 1이 10개 있습니다. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 칸막이 2개를 사용.. 2021. 5. 30.
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