확률과 통계46

[확률과 통계 기초] 3-32. 누적분포함수를 미분해보았다 우리는 연속확률변수에서 ‘가능성’이라고 부르는 어떤 것의 정체를 밝혀내는 중입니다. 이 가능성이 무엇인지 이해하기 위해 아래 예시를 다시 봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 이 상황을 나타낸 그래프도 그려보았지만, 우리가 말하는 '가능성'이 무엇인지 이해할 수 없었습니다 . 사람들은 누적분포함수를 미분해 보는 방법을 선택했습니다. 위 예시의 누적분포함수는 다음과 같습니다.

$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$ 이 함수를 미분한 결과를 f(x)라고 놓으면 다음과 같습니다. $.. 2024. 11. 28.

[확률과 통계 기초] 3-31. 확률은 아니지만 확률 같은 무언가 우리가 매번 사용하고 있는 예제를 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 여기서 확률변수 X는 확률을 갖지 않습니다. 확률을 갖는 순간 전체 확률이 무한대가 되기 때문입니다. 그런데 우리는 X각 60~100kg 사이로 변할 ‘가능성’이 같다고 말했습니다. 어느 값으로 변하던 그 가능성이 동일하다는 가정을 하고 싶었기 때문입니다. 이 가능성은 확률은 아닙니다. 현재까지 배운 내용으로는 뭐라고 표현할 말이 없어서 가능성이라고 이야기한 것입니다. 하지만 느낌상 확률과 비슷한 무언가라는 것은 알 수 있습니다. 우리는 이 ‘가능성’이 의미하는 것이 무.. 2024. 11. 25.

[확률과 통계 기초] 3-30. 가능성이 변하는 연속확률변수 지난시간에 함께 해결해보려고 했던 궁금증을 다시 살펴봅시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 지금까지는 이 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성이 동일하다고 했었습니다. 60kg 로 변할 가능성과 100kg로 변할 가능성이 동일하다고 놓은 것입니다. 각 몸무게가 발생할 확률은 정의할 수가 없었고, 구간의 확률만 정의할 수 있었습니다. 그래서 누적분포함수를 구했었습니다. 아래와 같습니다.

$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$ 이번에는 생각을 달리해봅시다. 60kg으로 변할 가능성이 가장 낮고, 100kg로 갈 수록 가능성이 서서히 높아지다가 100kg 으로 변할 가능성이 가장 높다고.. 2024. 11. 16.

[확률과 통계 기초] 3-28. 연속확률변수의 누적분포함수 연속확률변수에서는 구간의 확률만 정의할 수 있고 개별 값에 대한 확률은 정의되지 않았습니다. 개별 값의 확률이 0이기 때문입니다. 그럼 연속확률변수에서는 확률과 관련된 함수를 정의할 수 없는걸까요. 연속확률변수에서 구간의 확률을 정의할 수 있다는 성질을 이용하면 함수를 정의할 수 있습니다. 지난시간에 사용하던 예시를 가져옵시다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 으로 바뀌는 약이 있다고 합시다. 각 몸무게가 될 가능성은 동일합니다. 이때 약을 먹고 몸무게가 60이상

$x$ 이하가 될 확률을 정의할 수 있습니다.

$P[60 \leq X \leq x]$ 확률은 얼마일까요? 위 구간의 길이인

$x-60$ 을 전체 길이인 40으로 나눠주면 됩니다. 아래와 같습니다. $$P[60 \leq X \leq .. 2024. 11. 4.

[확률과 통계 기초] 3-26. 연속확률변수에서는 확률이 정의되지 않는 이유 우리는 지난시간에 연속확률변수를 배웠습니다. 연속확률변수는 3-5강에서 이미 한번 배웠었는데요. 시간이 많이 지났기 때문에 지난 강의에서 한번 더 복습을 했습니다. 오늘은 연속확률변수에서 각 원소의 확률이 정의되지 않는다는 내용을 배워볼겁니다. 그전에 이산확률변수의 확률분포를 하나 살펴보겠습니다. 이산확률변수에 속하는 이항분포를 배웠던 기억을 떠올려 봅시다. 자유투 성공률이 70%인 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 성공한 횟수를 X로 놓을 때, 확률함수는 아래와 같았습니다.

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 확률함수를 구해놓으면 원하는 확률변수의 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. X에 궁금한 값을 대입하면 확률이 구해집니다. 연속확률변수에도 이런 확률함수를 구할 수 있.. 2024. 8. 23.

[확률과 통계 기초] 3-25. 연속확률변수 복습 지금까지 우리는 이산확률변수를 배웠습니다. 이산확률변수는 셀 수 있는 확률변수였습니다. 동전을 던져서 나오는 앞면의 수도, 들어간 자유투 개수도 셀 수 있습니다. 하나, 둘, 셋 이렇게 번호를 붙여서 셀 수가 있습니다. 확률변수가 하나 더 있었는데요. 연속확률변수입니다. 앞으로는 연속확률변수에 대해서 배워볼겁니다. 연속확률변수는 셀 수 없는 확률변수입니다. 번호 붙여서 셀 수 없다는 뜻인데요. 예를 한번 들어보겠습니다. 어떤 약이 있습니다. 먹으면 40~100kg 사이의 몸무게로 랜덤하게 바뀌는 약입니다. 각 몸무게가 될 확률은 동일합니다. 여기서 40~100은 40이상 100이하의 '실수'를 의미합니다. 이 약을 먹었을 때 변하는 몸무게를 확률변수 X라고 놓겠습니다. 확률변수 X를 셀 수 있나.. 2024. 8. 12.

[확률과 통계 기초] 3-24. 자료의 분산 vs 확률변수의 분산 우리는 두가지 분산을 배웠습니다. 자료의 분산과 확률변수의 분산입니다. 오늘은 두 분산을 비교해보겠습니다. 자료의 분산은 중학교 수학에서 처음 등장합니다. 우리는 3-21강에서 다뤘습니다. 자료를 예를 들면 아래와 같습니다. {174,177,183,165,157} 다섯 사람의 키 입니다. 다섯사람 키의 평균은 171.4입니다. 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$\frac{(174-171.4)^2+(177-171.4)^2+(183-171.4)^2+(165-171.4)^2+(157-171.4)^2}{5}$ 일반화 시켜봅시다. 아래와 같이 원소 개수가 n개인 자료가 있습니다.

$\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ 이 자료의 평균을 m이라고 놓으면 분산은 아.. 2024. 7. 29.

[확률과 통계 기초] 3-23. 표준편차 기호가 시그마인 이유 우리는 지난시간에 표준편차가 아래와 같이 정의된다는 것을 배웠습니다.

$\sigma [X]=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 p_{i}}$ 표준편차에는 왜 그리스어 시그마를 사용하는걸까요. 표준편차는 영어로 standard deviation 입니다. 첫 글자인 s를 따서 지으려고 하다가 그리스어가 더 멋있어 보였던것 같습니다. 아니면 그리스어를 따서 이름을 붙이는 유행(?)같은게 있었을 수도 있구요. 영어 s와 발음이 같은 그리스어 시그마의 소문자

$\sigma$ 를 표준편차를 나타내는 기호로 사용하게 되었습니다. 대문자 시그마

$\sum$ 는 합의 시그마기호로 사용된다는걸 배웠었죠. 이후에 모집단과 표본을 배우게 되면 표준편차 기호가 하나 더 필요해집니다. 이때부터는 모집단.. 2024. 7. 18.

[확률과 통계 기초] 3-22. 확률변수의 분산과 표준편차 아래와 같은 확률변수 X가 있다고 합시다. 이 확률변수의 기댓값은 아래와 같이 구합니다.

$E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ 확률변수의 분산은 어떻게 구할까요. 분산의 정의를 생각해봅시다. 분산의 정의는 아래와 같았습니다 . “편차의 제곱의 평균” 확률변수에서는 이렇게 바꿔볼 수 있습니다. “편차 제곱의 기댓값” 확률변수의 기댓값은 확률변수에 각 확률을 곱해서 더하는 방식으로 구했습니다. 편차제곱의 기댓값도 같은 방식으로 정의할 수 있습니다. 아래와 같습니다 ... 2024. 7. 17.

[확률과 통계 기초] 3-21. 분산과 표준편차 분산과 표준편차가 무엇인지는 중학교 수학에서 배웠습니다. 내용을 잊으신 분들을 위해 분산과 표준편차가 무엇인지 복습하겠습니다. 아래와 같은 자료가 있다고 합시다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 사람들은 자료를 요약하고 싶었습니다. 자료를 요약하기 위해 자료를 대표하는 값(대푯값)과 자료가 흩어진 정도(분산도)를 정의하고 싶었습니다. 가장 많이 사용되는 대푯값은 평균이고 분산도는 분산입니다. 위 자료의 평균은 아래와 같이 구합니다.

$\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10}$ 자료의 흩어진 정도를 나타내기 위해 사람들이 처음 생각한 것은 편차였습니다. 편차는 (변량-평균)입니다. 각 값들이 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 이용해서 분산도를 정의하려고 한 것입니.. 2024. 6. 26.

[확률과 통계 기초] 3-20. 합의 시그마 기호 설명 아래와 같은 시그마 기호를 많이 보셨을겁니다.

$\sum$ 이 기호에 아직 익숙하지 않은 분들이 계실 수도 있어서 오늘은 시그마 기호를 설명드리겠습니다. 시그마 기호는 우리를 편하게 해주기 위해 고안되었습니다. 과거도 돌아가서 다른 유니버스를 산다고 해도 반드시 등장했을 기호일겁니다. 수학에서 아주 자주 사용되므로 익숙해지는 것이 좋습니다. 아래 식을 봅시다. 1부터 10까지 더하는 식입니다. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 이 정도는 손으로 다 써도 힘들지 않습니다. 만약 1부터 100까지 더하는 식을 표현하고 싶다고 합시다. 어떻게 쓰실건가요? 저라면 이렇게 쓸 것 같습니다. 1+2+...+99+100 이번에는 다른 예시를 들어봅시다. 1부터 시작해서 3씩 커지는 숫자를 30개 더하고 싶.. 2024. 6. 21.

[확률과 통계 기초] 3-18. 이산확률변수의 기댓값 우리가 지금까지 배운 이항분포는 이산확률변수에 속합니다. 지난시간에 배웠던 이항분포의 기댓값 개념을 이산확률변수로 확장해보겠습니다. 아래와 같은 이산확률변수 X가 있다고 합시다. X

$x_{1}$

$x_{2}$ ...

$x_{n-1}$

$x_{n}$ P(X)

$p_{1}$

$p_{2}$ ...

$p_{n-1}$

$p_{n}$ 이 이산확률변수의 기댓값을 구해봅시다. 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 확률변수 X의 기댓값 =

$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n-1}p_{n-1}+x_{n}p_{n}$ 기댓값은 각 확률변수 값과 해당 확률을 곱한 후, 이를 모두 더하여 구하는 것입니다. 시그마 기호를 이용하여 아래와 같이 간단히 나타낼 수도 있습니다. 확률변수 X의 기댓값 = $\sum.. 2024. 6. 19.

[확률과 통계 기초] 3-17. 이항분포의 기댓값 지난시간에 살펴본 이항분포 예시를 다시 가져와봅시다. 어떤 농구선수가 있고 자유투 성공률이 70% 라고 합시다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던져서 성공한 횟수를 X라고 놓겠습니다. X의 확률분포가 이항분포를 따릅니다. X의 확률분포를 구해보면 아래와 같습니다.

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$ 여기서 한가지 질문을 던질 수 있습니다. 이 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 자유투가 몇번정도 들어갈 것이라고 기대할 수 있을 것인가? 라는 질문입니다. 이 질문에 답하기 위해 조금 더 간단한 상황을 가정해보겠습니다. 우리가 동전을 하나 던져서 앞면이 나오면 100원을, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 한다고 해봅시다. 동전을 하나 던질 때 얼마를 받을 것으로 기대할 수 .. 2024. 6. 19.

[확률과통계 기초] 3-15. 이항분포 수식 자세한 설명 이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공이 나온 횟수인 x를 확률변수로 하는 분포라는 것을 지난시간에 배웠습니다. 이항분포의 확률분포함수도 아래와 같다는 것을 배웠습니다.

$p(x)=_nC_x \ p^x(1-p)^{n-x}$ 위 식의 유도과정을 자세히 다루지는 않았는데요. 어떻게 위 식이 유도된건지 이해하지 못한 분들이 계실 수도 있어서 이번 시간에 자세히 설명하겠습니다. 1. 예시아주 간단한 예시를 이용해서 위 식을 이해해봅시다. 주사위 던지기 예시입니다. 주사위를 한번 던져서 3이 나오는 사건을 '성공' 나머지를 '실패'라고 두겠습니다. 주사위를 한번 던지는 시행에서 성공할 확률과 실패할 확률은 아래와 같습니다. 성공확률 =

$\frac{1}{6}$ 실패확률 =

$\frac{5}{6}$ 주사위 .. 2024. 4. 24.

[확률과통계 기초] 3-13. 이항분포 배우기 전에 베르누이분포 먼저 우리는 지난시간에 이항분포에서 '이항'이 어떤 의미인지 배웠습니다. 이항은 두개의 항이라는 뜻입니다. 이항분포가 무엇인지 배울 차례인데요. 그 전에 베르누이분포를 먼저 배우겠습니다. 이유는 다음 강의에서 알게되실겁니다. 시행과 사건 기억하시나요? 세번째 시간에 배웠던 시행, 표본공간, 사건의 정의를 가져옵시다. 시행 : 무한히 반복될 수 있고, 잘 정의된 결과 집합을 갖는 행위 표본공간 : 어떤 시행에서 발생할 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합 사건 : 어떤 시행의 결과들의 집합. 확률이 할당되어 있음. 표본공간의 부분집합. 시행,표본공간,사건을 쉽게 기억하는 방법은 주사위 던지기 예시로 기억하는 것입니다. 시행은 주사위던지기이고, 표본공간은 1부터6 까지의 집합이고, 사건은 짝수의 눈이 나오.. 2024. 1. 3.

[확률과통계 기초] 3-11. 우리가 배울 두가지 분포 우리는 확률분포를 배우고 있습니다. 확률분포가 두가지로 나눈다는 것도 배웠는데요. 확률분포는 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉩니다. 이산확률분포와 연속확률분포에는 여러가지가 있습니다. 대표적인 분포들은 아래와 같습니다. 이산확률분포 : 이항분포, 기하분포, 음이항분포, 포아송분포, 초기하분포, 다항분포연속확률분포 : 균등분포, 정규분포, t분포, 카이제곱분포, F분포, 감마분포, 베타분포 뭐가 이렇게 많은건가 싶으실텐데 다 사용되는 분포입니다. 각각의 분포가 어떤 상황에 사용되는지 궁금하신 분들은 [손으로 푸는 확률분포] 강의를 들어보시면 됩니다. 이 강의는 확률과 통계 기초 강의이므로 이산확률분포와 연속확률변수 중에서 각각 하나씩만 배웁니다. 이산확률분포에서는 이항분포, 연속확률분포에서는 정규분포를.. 2023. 12. 20.

[확률과통계 기초] 3-9. 확률질량함수의 성질 이산확률변수 X의 확률질량함수는 아래와 같습니다.

$P\left [ X=x_{i} \right ]=p_{i} \ \ (i=1,2,...,n)$ 이번시간에는 확률질량함수의 세가지 성질을 알아봅시다. 확률은 0이상 1이하의 값을 가지므로 아래와 같은 조건이 성립합니다. (1)

$0\leq p_{i} \leq 1$ 각 사건이 발생할 확률의 총 합은 1이므로 아래 조건이 성립합니다. (2)

$p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$ 이번에는 확률변수 X가 어떤 범위 내에 있을 확률을 구해봅시다. X가

$x_{3}$ 이상이고

$x_{5}$ 이하일 확률은 아래와 같습니다.

$P\left [ x_{3}\leq X\leq x_{5} \right ]=p_{3}+p_{4}+p_{5}$ 위 식을 일반화시키면 아래와 같.. 2023. 11. 15.

[확률과통계 기초] 3-8. 확률질량함수 (이산확률변수의 확률함수) 우리는 확률변수가 둘로 나뉜다는 것을 배웠습니다. 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수 두 가지로 구분됩니다. 이산확률변수는 확률변수 각각이 확률값을 갖습니다. 연속확률변수는 어떤 구간의 확률만 정의가 가능했습니다. 이산확률변수와 연속확률변수의 확률함수는 정의가 다릅니다. 이산확률변수의 확률함수는 확률질량함수이고 연속확률변수의 확률함수는 확률밀도함수입니다. 이번 시간에는 이산확률변수의 확률함수인 확률질량함수에 대해 배워봅시다. 간단한 예시를 통해 확률질량함수가 무엇인지 알아봅시다. 주사위를 한번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 X라고 놓으면 X는 이산확률변수입니다. 확률함수는 확률변수를 확률과 대응시킨 것을 말합니다. 확률변수 X의 확률함수는 표로 나타낼 수도 있고 그래프로 나타낼 수도 있습니다. 먼저.. 2023. 11. 15.

[확률과통계 기초] 3-4. 확률이 정의되지 않는 확률변수 어떤 확률변수 X가 있구요. 이 확률변수는 1부터 3까지의 실수 구간에 있는 값을 가질 수 있다고 하겠습니다.

$1\leq X \leq 3$ 위 구간의 값이 발생할 확률이 같다고 가정하고 아래 확률을 한번 구해봅시다.

$P\left [ X=1 \right ]$ 위 확률을 p라고 놓으면 전체 확률은

$p \times \infty$ 가 됩니다. 전체 확률이 무한대이므로 모순입니다. 따라서 확률을 정의할 수 없습니다. 이번에는 아래 확률을 한번 구해봅시다.

$P\left [ 1\leq X \leq 2 \right ]$ 확률은 0.5입니다. 전체 구간 중 절반이기 때문입니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 발생할 확률은 정의가 가능했는데, 오늘 살펴본 확률변수는 각 값이 발생할 확률을 정의할 수 없었습니다. 구간의.. 2023. 7. 9.

[확률과통계 기초] 3-3. 확률함수와 확률분포 우리가 계속 사용하고 있는 동전 두개 던지는 예시를 가져옵시다. 동전을 두개 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수로 놓을 수 있었습니다. 확률변수를 X로 놓으면 X가 가질 수 있는 값은 아래와 같습니다. X={0,1,2} 확률변수 X가 각 값을 가질 확률은 아래와 같습니다.

$P[X=0]=\frac{1}{4}$

$P[X=1]=\frac{1}{2}$

$P[X=2]=\frac{1}{4}$ 확률변수 X가 가질 수 있는 값들과, 각 값을 가질 확률 사이에 대응관계가 존재합니다. 이 대응관계를 표로 나타내면 아래와 같습니다. X 0 1 2 합계

$P[X=x]$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$ 1 이와 같은 대응관계를 '확률분포'라고 부릅니다. 이 대응관계를 p(x)라는 .. 2023. 7. 2.

[확률과통계 기초] 2-10. 2단원 확률 내용 총정리 두번째 파트인 확률파트에서 배운 내용은 아래와 같습니다. 2-1) 사건이 발생할 확률 2-2) 확률의 덧셈정리 2-3) 조건부 확률 설명 및 공식유도 2-4) 확률의 곱셈정리 2-5) 확률의 곱셈정리 직관적으로 이해하기 2-6) 사건의 독립 설명 2-7) 사건의 독립 예시 2-8) 배반사건은 독립인가 종속인가 2-9) 독립시행 간단히 복습해봅시다. 사건이 발생할 확률 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본공간의 부분집합이 사건입니다. 어떤 사건 A가 발생할 확률은 아래와 같습니다.

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 확률의 덧셈정리 확률의 덧셈정리는 사건 A 또는 B가 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건 A 또는 B가 일어날 확률은 아래와 같습니다. $P(A\cup B)=\frac{n(A.. 2023. 5. 25.

[확률과통계 기초] 2-9. 독립시행 독립시행이란? 독립시행은 각각의 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 시행을 말합니다. 주사위를 던지는 사건을 예로 들겠습니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 나올 확률은 1/6 입니다. 주사위를 한 번 던져서 3이 나왔다고 합시다. 이렇게 발생한 결과가 그 다음 주사위를 던질때의 각 눈이 나올 확률에 영향을 주지 않습니다. 주사위를 몇번 던지건 각 눈이 나올 확률은 항상 1/6 입니다. 독립시행 확률 독립시행의 확률을 한번 구해봅시다. 주사위를 5번 연속으로 던져서 1의 눈이 3번 나올 확률을 구해봅시다. 1이 3번 나오는 경우를 예로 들면 아래와 같습니다. 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 4 5 ... 몇가지나 될까요? 총 다섯 자리 중에서 1이 들어갈 세개의 자리를 먼저 뽑.. 2023. 5. 22.

[확률과통계 기초] 2-5. 확률의 곱셈정리 직관적으로 이해하기 확률의 곱셈정리가 아래 두가지 수식이라는 것을 지난시간에 배웠습니다.

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$

$P(A \cap B)=P(B)P(A|B)$ 수학적으로는 유도했지만 와닿지 않을 수도 있어서 직관적으로도 이해하려고 합니다. 어떤 학교에 학생이 100명이라고 합시다. 전체 학생은 남,녀로 분류할 수 있고 다시 문,이과로 분류할 수 있습니다. 벤다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 이 학교에서 학생 한명을 뽑을 때, 남학생이면서 이과일 확률은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. P(이과 ∩ 남) 이과이면서 남학생일 확률은 남학생을 뽑고, 그 남학생들 중에서 이과를 뽑을 확률과 같습니다. 아래와 같습니다. P(이과 ∩ 남) = P(남) X P(이과 | 남) 위 식이 확률의 곱셈정리입니다. 다.. 2023. 1. 20.

[확률과통계 기초] 2-4. 확률의 곱셈정리 확률의 곱셈정리는 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건은 집합이었죠? 두 사건이 동시에 일어난다는 것이 무슨 의미일까요? 사건 A와 B를 벤다이어그램으로 표현해봅시다. 두 사건이 동시에 일어난다는 것은 위 벤다이어그램의 교집합이 발생한다는 것입니다. 따라서 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률은 아래와 같이 표현됩니다.

$P(A \cap B)$ 위 식은 조건부 확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있는데요. 위 식을 조건부확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타내는 것이 확률의 곱셈정리입니다. 아래와 같은 두가지 방법이 있습니다. 1) 사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률를 이용

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 위 식을 $P(A \.. 2023. 1. 20.

[확률과통계 기초] 2-3. 조건부 확률 설명 및 공식유도 어떤 시행의 표본공간이 S 라고 합시다. 표본공간의 부분집합인 사건 A와 B가 있다고 합시다. 이때 조건부 확률은 아래와 같습니다. '사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률' 수식으로는 아래와 같이 나타냅니다.

$P(A|B)$ 조건부 확률이 어떻게 계산되는지 알아봅시다. 표본공간과 사건 모두 집합이므로 벤다이어그램으로 나타낼 수 있습니다. 사건 B가 이미 발생한 상황이므로, 표본공간은 B가 됩니다. 이때 A가 발생하는 사건은 아래 그림의 노란색 부분입니다. B가 발생했을 때 A가 발생할 확률을 구해보면 아래와 같습니다.

$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$ 우변을 각각 확률로 변형해봅시다. 우변의 분자와 분모를 n(S) 로 나눠줍니다. $P(A|B)=\frac{\fra.. 2023. 1. 10.

[확률과통계 기초] 1-12. 1단원 경우의 수 내용 요약 이 강의는 크게 세개의 단원으로 되어 있는데요. 경우의수, 확률, 통계입니다. 우리는 지난시간까지 경우의 수 공부를 완료했습니다. 우리가 경우의 수 단원에서 배운 내용들은 아래와 같습니다. 시행과 표본공간 사건 순열과 조합 이항정리 한 문장을 표현하면 이렇습니다. "사건은 어떤 시행의 결과들의 집합이고, 사건의 원소 개수가 경우의 수 이다. 경우의 수를 구하는 테크닉에는 순열과 조합이 있다." 저는 1단원에서 가장 중요한 키워드는 '사건'이라고 생각합니다. 우리가 다음 단원에서 확률을 배울 건데요. 확률 앞에는 이런 말이 생략되어 있습니다. (어떤 사건이 발생할) 확률 2단원인 확률 단원도 사실은 사건 이야기입니다. 사건이 발생할 확률을 구하는 것이구요. 사건이 발생할 확률을 구할 때, 사건의 원소 개수.. 2023. 1. 7.

[확률과통계 기초] 1-11. 사건을 잘못 알고 계실지도 몰라요 사건의 정의는 이미 배운 상태인데요. 확률과 통계에서 사건은 아주 중요한 개념이라서 정말 이해했는지 한번 더 확인해보려고 합니다. 확률과 통계에서 사용되는 사건은 우리가 일상적으로 사용하는 사건의 의미와는 다릅니다. 우리가 일상적으로 사용하는 사건의 정의는 아래와 같습니다. 사건 : 사회적으로 문제를 일으키거나 주목을 받을 만한 뜻밖의 일 우리가 '사건이 발생했다' 라고 할 때의 사건은 이미 벌어진 특정한 일을 말합니다. 주로 뉴스에서 많이 듣는 단어죠. 총격 사건, 위반 사건 등에 사용합니다. 반면에 통계에서 사건은 이미 벌어진 일이 아닙니다. 주사위를 던져서 3이 나왔다고 합시다. 3이 나온 상황은 통계에서는 사건이 아닙니다. 일상에서는 발생한 어떤 상황을 지칭할 때 사건이라고 하는데요. 통계에서 사.. 2023. 1. 7.

[확률과통계 기초] 1-10. 사건과 경우의 수는 무엇이 다른가 안녕하세요. 확률과 통계 기초입니다. 사건과 경우의 수의 차이가 무엇인지 설명해보라고 하면 대답하기가 쉽지 않습니다. 사건은 어떤 시행의 결과들의 집합이라는 것을 이미 배웠습니다. 어떤 시행이 주사위 던지기라고 한다면, 홀수의 눈이 나오는 사건, 짝수의 눈이 나오는 사건 등이 있습니다. 그렇다면 경우의 수는 무엇일까요? 경우의 수가 무엇인지 알기 위해 경우의 수를 구하는 문제를 하나 풀어봅시다. "주사위를 하나 던질 때, 3 이상의 눈이 나오는 경우의 수를 구하시오" 3 이상의 눈이 나오는 경우의 수는 3,4,5,6으로 4가지입니다. 이 문제를 사건의 관점으로 풀어봅시다. 3 이상의 눈이 나오는 사건은 {3,4,5,6} 입니다. 이때 경우의 수는 사건의 원소의 개수입니다. 이제 경우의 수가 무엇인지 알았.. 2023. 1. 5.

[확률과통계 기초] 1-7. 조합의 성질 (1)

$_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 직관적이해와 증명 n개 중에서 r개를 뽑는 조합은 아래와 같이 계산됩니다.

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{ (n-r)!r!}$ 오늘은 조합의 대표적인 성질 두 가지를 알아봅시다. 이런저런 유도 과정에서 자주 사용되므로, 익숙해 지는 것이 좋습니다. 1)

$_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$ 2)

$_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}$ 오늘은 첫번째 성질을 알아봅시다. n개 중에 r개를 뽑는 것과, n개 중에 n-r개를 뽑는 것이 같다는 성질입니다. 숫자를 넣어보면 아래와 같습니다.

$_{5}C_{3}=_{5}C_{2}$ 다섯개 중에 3개를 뽑는 경우의 수와, 5개 중에 2개를 뽑는 경우의 수가 같습니다. 수학적으로 증명하기 전에 직관적으로 이해해봅시다. ABCDE 중에 3개를 뽑.. 2022. 5. 20.

[확률과통계 기초] 1-6. 조합이란 무엇인가 조합이 무엇인지는 '조합'이라는 한 단어로 설명하기는 어렵습니다. 조합은 아래와 같이 사용합니다. 'n개에서 r개를 택하는 조합' '서로 다른 n개 중에서 순서에 상관없이 r개를 선택하는 것' 이라는 뜻입니다. 예를 들어 a,b,c 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 조합은 아래와 같습니다. abacbc 순열에서는 ab와 ba가 서로 다른 경우였는데, 조합에서는 순서를 고려하지 않으므로 같은 경우입니다. 이렇게 택하는 경우의 수를 조합의 수라고 합니다. 용어설명예시n개에서 r개를 택하는 조합서로 다른 n개 중에서 순서에 상관 없이r개를 선택하는 것a,b,c 에서 2개를 택하는 조합조합의 수조합의 경우의 수3가지 조금 더 복잡한 예시를 통해 조합의 수를 계산해보고 나서 일반화합시다. 알파벳 a,b,.. 2022. 5. 20.

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