[확률과통계 기초] 2-9. 독립시행

독립시행이란?

독립시행은 각각의 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 시행을 말합니다. 

주사위를 던지는 사건을 예로 들겠습니다. 주사위를 던질 때 각 눈이 나올 확률은 1/6 입니다. 주사위를 한 번 던져서 3이 나왔다고 합시다. 이렇게 발생한 결과가 그 다음 주사위를 던질때의 각 눈이 나올 확률에 영향을 주지 않습니다. 주사위를 몇번 던지건 각 눈이 나올 확률은 항상 1/6 입니다. 

 

독립시행 확률

독립시행의 확률을 한번 구해봅시다. 주사위를 5번 연속으로 던져서 1의 눈이 3번 나올 확률을 구해봅시다. 

1이 3번 나오는 경우를 예로 들면 아래와 같습니다. 

1 1 1 2 2
1 1 1 2 3
1 1 1 4 5
...

몇가지나 될까요? 총 다섯 자리 중에서 1이 들어갈 세개의 자리를 먼저 뽑고 $_{5}C_{3}$, 나머지 두 자리에는 1을 제외한 4개의 숫자가 올 수 있으므로 전체 경우의 수는 아래와 같습니다. 

$_{5}C_{3}\times 4^2$

각각의 경우가 발생할 확률은 $\left ( \frac{1}{5} \right )^5$ 이므로, 주사위를 5번 연속으로 던져서 1의 눈이 3번 나올 확률은 아래와 같습니다. 

$_{5}C_{3}\times 4^2 \times \left ( \frac{1}{5} \right )^5$

다른 방식으로도 접근해봅시다. 5자리 중에서  세 자리에 1이 올 확률을 구하고, 나머지 자리에 1이 아닌 숫자가 올 확률을 곱하는 것입니다.  먼저 5자리 중에서 1이 세자리에 올 확률을 구해봅시다. 

$_{5}C_{3}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^3$

나머지 두 자리에 1이 아닌 숫자가 올 확률을 곱합시다. 

$_{5}C_{3}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^3 \times \left ( \frac{4}{5} \right )^2$

계산된 확률은 같습니다. 

 

독립시행이 아닌 경우

독립시행이 아닌 경우의 예시도 살펴봅시다. 항아리에 빨간공 3개와 검은공 2개가 있습니다.

 

{빨,빨,빨,검,검}

 

공을 뽑을 건데요. 공을 뽑고 다시 되돌려 놓는다면 공을 뽑는 시행은 독립시행입니다. 하지만 공을 뽑고 되돌려 놓지 않는 다면 매 시행은 독립시행이 아닌 종속시행이 됩니다. 첫번째 시행에서 빨간 공이 뽑혔다면, 두번째 시행에서 빨간공이 뽑힐 확률은 2/4 입니다. 만약 첫번째 시행에서 검은공이 뽑혔다면, 두번째 시행에서 빨간공이 뽑힐 확률은 3/4 이 됩니다. 첫번째 시행의 결과가 두번째 시행의 결과에 영향을 주므로 독립시행이 아닌 것입니다.