[확률과통계 기초] 2-6. 사건의 독립 설명

표본공간 S에 두 사건 A와 B가 있습니다. 두 사건이 서로 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않는 것을 말합니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$P(A|B)=P(A)$
$P(A|B^{c})=P(A)$
$P(B|A)=P(B)$
$P(B|A^{c})=P(B)$

 

첫번째 수식을 봅시다. 사건 B가 일어났을 때 A가 일어날 확률과 A가 일어날 확률이 같다는 것은 사건 B의 발생이 A의 확률에 영향을 주지 않는다는 것을 말합니다. 

위 수식들은 서로 같은 수식입니다. 한 수식을 변형하여 다른 수식을 만들 수 있습니다. 첫번째 수식을 이용하여 두번째 수식을 유도해봅시다. 

 

아래 수식에서 출발합니다. 

 

$P(A|B)=P(A)$

 

좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$

 

양변에 $P(B)$를 곱합시다. 

 

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

 

양변을 $P(A)$ 에서 빼줍니다. 등식이 성립합니다. 

 

$P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)$

 

좌변과 우변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

P(A\cap B^{c})=P(A)\left ( 1-P(B) \right )

 

우변은 다시 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$P(A\cap B^{c})=P(A)P(B^{c})$

 

양변을 $P(B^{c})$로 나눠줍니다. 

 

$\frac{P(A\cap B^{c})}{P(B^{c})}=P(A)$

 

좌변은 조건부 확률로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$P(A|B^{c})=P(A)$

우리는 $P(A|B)=P(A)$ 를 이용하여 $P(A|B^{c})=P(A)$를 유도했습니다. 나머지 수식들도 비슷한 방법으로 상호 유도됩니다. 

조건부확률 형태로 되어 있는 수식 말고, 독립 판별에 더 많이 쓰이는 수식을 하나 유도해봅시다. 

첫번째 수식에서 출발합니다. 

$P(A|B)=P(A)$

조건부확률의 정의를 이용하여 두 수식을 변형해봅시다. 

$\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A)$

아래와 같이 변형합니다. 두 사건이 독립이라면 아래 등식이 성립합니다. 

$P(A \cap B)=P(A)P(B)$