[확률과통계 기초] 2-4. 확률의 곱셈정리

확률의 곱셈정리는 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률에 대한 정리입니다. 사건은 집합이었죠? 두 사건이 동시에 일어난다는 것이 무슨 의미일까요? 사건 A와 B를 벤다이어그램으로 표현해봅시다. 

 

 

두 사건이 동시에 일어난다는 것은 위 벤다이어그램의 교집합이 발생한다는 것입니다. 따라서 사건 A 와 B가 동시에 일어날 확률은 아래와 같이 표현됩니다. 

 

$P(A \cap B)$

 

위 식은 조건부 확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있는데요. 위 식을 조건부확률을 이용해서 다른 두 확률의 곱으로 나타내는 것이 확률의 곱셈정리입니다. 아래와 같은 두가지 방법이 있습니다. 

 

1) 사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률를 이용

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

 

위 식을 $P(A \cap B)$ 에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$P(A \cap B)=P(B)P(A|B)$

 

 

2) 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 확률을 이용

$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

 

위 식을 $P(A \cap B)$ 에 대해 정리하면 아래와 같습니다.

 

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$

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위 두 조건부 확률을 이용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$