[확률과통계 기초] 2-3. 조건부 확률 설명 및 공식유도

어떤 시행의 표본공간이 S 라고 합시다. 표본공간의 부분집합인 사건 A와 B가 있다고 합시다. 이때 조건부 확률은 아래와 같습니다.

 

'사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률'

 

수식으로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$P(A|B)$

조건부 확률이 어떻게 계산되는지 알아봅시다. 표본공간과 사건 모두 집합이므로 벤다이어그램으로 나타낼 수 있습니다. 사건 B가 이미 발생한 상황이므로, 표본공간은 B가 됩니다. 

 

이때 A가 발생하는 사건은 아래 그림의 노란색 부분입니다. 

 

 

B가 발생했을 때 A가 발생할 확률을 구해보면 아래와 같습니다. 

 

$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$

 

우변을 각각 확률로 변형해봅시다. 우변의 분자와 분모를 n(S) 로 나눠줍니다. 

 

$P(A|B)=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(B)}{n(S)}}$

 

우변의 분자와 분모를 확률로 바꿔줍시다. 

 

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

 

조건부확률 공식이 유도되었습니다.