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통계강의11

[손으로 푸는 t검정] 4. t분포 유도 (1) t통계량 변형 우리가 분포를 유도해야할 확률변수는 아래와 같습니다. $\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 위 확률변수를 T라고 놓겠습니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 아래와 같이 변형합시다. 분모를 모분산으로 곱하고 나눠주었습니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\frac{s}{\sigma} }$ 우변 분모를 아래와 같이 둘로 분리해 써줍니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }\frac{1}{\frac{s}{\sigma} }$ 우변 두번째 항을 루트 안에 넣어줍니다. $T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\.. 2023. 2. 16.

[수리통계학] #42. 이변량 분포 변환 (transformation) 개념 이변량 확률변수의 변수변환이 무엇인지 먼저 간단히 알아봅시다. 두 확률변수의 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포 를 알고 있다고 합시다. 이때 다른 다른 확률변수 $Y_{1}$과 $Y_{2}$는 아래과 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=f_{1}(X_{1},X_{2})$ $Y_{2}=f_{2}(X_{1},X_{2})$ 이때 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포를 이용하여 $Y_{1}$와 $Y_{2}$의 결합확률분포를 구하는 것이 확률변수 변환입니다. 어떻게 사용되나? 우리가 확률분포를 구하고 싶은 확률변수인 $Y_{1}$이 아래와 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=g(X_{1},X_{2})$ 이변량 분포의 변환을 이용하면 Y의 확률분포함수를 구할 수 있습니다. 약간의 편법(?.. 2023. 2. 14.

카이제곱분포 글 하나로 끝내버리기 1. 어디에 사용되나? 1) 카이제곱분포는 t분포 유도에 사용됩니다. t분포 유도에는 확률변수 $\frac{ns^2}{\sigma^2}$ 가 사용되는데, 이 확률변수가 n자유도 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. $s^2$은 표본분산, $\sigma^2$은 모분산입니다. 2) 카이제곱검정에 사용됩니다. 2. 어떻게 생겼나요? 카이제곱분포도 t분포처럼 '자유도'에 따라 모양이 결정됩니다. t분포에서 자유도는 표본크기에서 1을 뺀 값이었는데요. 카이제곱분포 자유도의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. k자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left ( \frac{k}{2} \right ) }x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}.. 2023. 1. 14.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약 감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다. 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 0 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명 감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 54. 표본분산의 분포 유도 (19) 감마함수 무한곱형의 재귀적 성질 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오늘은 감마함수의 성질중에서 재귀적 성질(Recurrence relation)을 유도해보도록 하겠습니다. 재귀적 성질은 아래와 같습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ 팩토리얼 함수 $f(n)=(n-1)!$에서 성립하던 성질인데요. 정의역을 실수로 확장한 뒤에도 이 성질이 성립합니다. 증명 아래 등식에서 출발합시다. $\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\inft.. 2021. 4. 23.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 52. 표본분산의 분포 유도 (17) 팩토리얼 함수의 정의역 확장 우리는 49,50강에서 n!를 아래와 같은 형태로 변형했습니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이 함수를 감마함수로 바꾸기 전에 한가지 변형을 더 해야합니다. 감마함수는 팩토리얼함수인 (n-1)!을 확장한 것이어서, 위 함수도 (n-1)!로 변형해야 합니다. 아래와 같이 변형합니다. $$ n(n-1)!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 양변을 n으로 나눠줍니다. $$(n-1)!=\fr.. 2021. 4. 21.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-3) 두 증명 결과가 같은 이유 (2-3) 두 증명 결과가 같은 이유 두가지 방법으로 푸아송분포를 유도했습니다. 이항분포를 이용하여 유도한 결과는 아래와 같습니다. 미분방정식을 세워서 유도한 결과는 아래와 같습니다. λ 와 ks를 비교할겁니다. 의미가 같다는 것을 보이겠습니다. λ는 이항분포 B(n,p)의 평균입니다. 어떤 시간 동안의 시행횟수를 n, 사건 발생확률을 p라고 놓았을 때의 평균입니다. 이번에는 ks를 봅시다. s는 어떤 단위 시간을 의미합니다. 길냥이 예제에서는 '하루'라는 시간입니다. 시간 s 안에 Δt 라는 '사건이 최대 1번 일어나는 짧은 시간'을 잡은 것입니다. Δt 동안 사건이 1번 발생할 확률을 아래와 같이 정의했었습니다. 위 식을 k에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 양변에 s를 곱합시다. 전체시간 s를 사건.. 2019. 11. 15.

R,SPSS,EXCEL 통계강의 무료로 듣는 사이트(통계교육원) R,SPSS,EXCEL 통계강의 무료로 듣는 사이트(통계교육원) 통계강의를 무료로 들을 수 있는 사이트를 소개해드리겠습니다. 통계교육원이라는 곳인데요. 통계교육원은 국무총리 산하기관인 기획재정부, 기획제정부의 산하기관인 통계청, 이 통계청의 산하기관이 통계교육원입니다. 통계교육원은 국가에서 운영하는 통계교육기관입니다. 회원가입을 하시면 온라인 강의를 무료로 들을 수 있습니다. 아래와 같은 강의들을 제공합니다. R 기초 R 활용 SPSS 중급 통계분석 SPSS 초급 통계분석 빅데이터와 통계 엑셀을 이용한 통계분석 통계학의 이해 표본이론 기초 통계 기초 및 활용 시계자료의 분석과 실무 2019. 8. 24.

정규성검정 KS test (2) Nikolai Smirnov KS 테스트를 개발한 분의 이야기를 이어서 하겠습니다. 지난시간에는 Andrey Kolmogorov 이야기를 했었는데요. 오늘은 Nikolai Smirnov에 대해 말씀드리겠습니다. 이분에 대한 자료는 많이 없어서 내용이 짧습니다. 스미르노프는 1900년에 러시아 모스크바에서 태어났습니다. 콜모고로프처럼 러시아 사람입니다. 1938년에 박사학위를 땄습니다. 당시 했던 연구가 앞으로 이어질 비모수 검정 연구의 기초가 됐다고 합니다. 1938년에 Steklov Institute of Mathematics 의 연구원이 됩니다. 수학에 특화된 국가연구소라고 합니다. 우리나라의 고등과학원 정도가 될겁니다. 1957년에 수리통계학 분야 책임자가 됩니다. 스미르노프는 수리통계학 분야 비모수 기법의 창시자중 한명입니다.. 2018. 11. 26.

5. 분위수(Quantile)를 구하는 9가지 방법(#5. 순서통계 보충설명) 5. 분위수(Quantile)를 구하는 9가지 방법(#5. 순서통계 보충설명) 지난시간까지 불연속변수의 분위수 계산 방법인 Type 1~3을 가지고 분위수 계산을 해봤습니다. 순서통계에 대한 설명이 부족한 것 같아서 오늘은 그 원리를 설명드리겠습니다. 분위수 중 하나를 예를들어볼게요. 무수히 많은 분위수를 정의할 수 있지만, 가장 자주 쓰는 사분위수를 예로 들겠습니다. 나머지 분위수들도 동일한 원리로 계산됩니다. 10개의 수를 생성했습니다. 24,28,37,43,46,47,59,67,75,77 사분위수 계산에서 얻어야 하는 결과는 아래와 같습니다. 0% : 0사분위수 25% : 1사분위수 50% : 2사분위수 75% : 3사분위수 100% : 4사분위수 일반적 정의에서 사분위수는 1,2,3사분위수 3개입.. 2018. 10. 18.

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