[손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4

 

 

감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 

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증명과정 요약

 

1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

 

2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

 

3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

 

4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 $x > 0 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

 

6) 실수 $0 < x < 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

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5) 4번 이용, 실수 $x > 0$ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

위 적분의 수렴성을 보이기 위해서는 $e^{-t}t^{x-1}$을 부등식으로 가둬야합니다. 

 

$t\geq 1$ 조건에서, x-1보다 큰 자연수 중 가장 작은 자연수를 K라고 한다면 아래 부등식일 성립합니다. 

 

$0<e^{-t}t^{x-1}<e^{-t}t^{K}$

 

각 변에 적분을 취해봅시다. 

 

$\int_{1}^{\infty}0dt<\int_{1}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt<\int_{1}^{\infty}e^{-t}t^{K}dt$

 

좌변은 수렴하고, 우변도 4번에 의해 수렴합니다. 따라서 아래 적분이 수렴합니다. 

 

$\int_{1}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$

 

이번에는 아래 범위에서 수렴함을 보여야합니다. 

 

$\int_{0}^{1}e^{-t}t^{x-1}dt$

 

$e^{-t}$ 는 t=0일 때 값이 1인 감소함수이므로 아래 부등식이 성립합니다.

 

$0 \leq e^{-t}t^{x-1}\leq t^{x-1}$

 

각 변에 적분을 취합시다. 

 

$\int_{0}^{1}0dt \leq  \int_{0}^{1}e^{-t}t^{x-1}dt \leq  \int_{0}^{1}t^{x-1}dt$

 

좌변은 0입니다. 우변은 적분하여 계산할 수 있습니다. 

 

$0 \leq  \int_{0}^{1}e^{-t}t^{x-1}dt \leq  \frac{1}{x}$

 

x는 0이 아니므로, 우변도 수렴합니다. 따라서 가운데 적분값도 수렴합니다. 따라서 x>0 인 범위에서 아래 적분이 수렴합니다. 아래 적분이 감마함수입니다. 

 

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$

 

$x >0$ 에서 감마함수가 수렴함을 보였습니다.