[손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약

 

 

우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 

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오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다.

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$

 

이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$

 

치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다. 

 

$(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

 

이 함수가 바로 감마함수입니다. 

 

$\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

 

이후 극한의 정의와 부등식들을 이용하여 위 감마함수가 양의 실수 영역에서 수렴함을 보였습니다.