[손으로 푸는 통계 ver1.0] 72. 표본분산의 분포 유도 (37) 카이제곱분포 완성

 

 

우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요. 

카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다. 

 

<짝수형>

 

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!}
e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$

 

 

<홀수형>

 

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}

\left \{
\left ( \frac{n}{2}-1 \right )  
\left ( \frac{n}{2}-2 \right )
\cdots 
\left ( \frac{1}{2} \right )
\right \}\sqrt{\pi}
}
e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$

 

짝수형 분모의 $\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!$ 은 팩토리얼함수로 이미 정의가 가능한 값입니다. 감마함수가 팩토리얼함수를 포함하기 때문에 $\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )$ 과 같습니다. 

 

이번에는 홀수형 분모의 아래 항을 봅시다. 

 

$\left \{
\left ( \frac{n}{2}-1 \right )  
\left ( \frac{n}{2}-2 \right )
\cdots 
\left ( \frac{1}{2} \right )
\right \}\sqrt{\pi}$

 

64강에서 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi}$ 라는 것을 계산했습니다. 이 값은 $\left ( -\frac{1}{2} \right )!$ 에 해당됩니다. 위 수식을 아래 등식와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\left \{
\left ( \frac{n}{2}-1 \right )  
\left ( \frac{n}{2}-2 \right )
\cdots 
\left ( \frac{1}{2} \right )
\right \}\sqrt{\pi}=\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )$

 

따라서 홀수형과 짝수형은 하나의 수식으로 합쳐집니다. 아래 수식이 n자유도 카이제곱분포입니다. 

 

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$