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우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요.
카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다.
<짝수형>
fn(x)=12n2(n2−1)!e−x2xn2−1
<홀수형>
fn(x)=12n2{(n2−1)(n2−2)⋯(12)}√πe−x2xn2−1
짝수형 분모의 (n2−1)! 은 팩토리얼함수로 이미 정의가 가능한 값입니다. 감마함수가 팩토리얼함수를 포함하기 때문에 Γ(n2) 과 같습니다.
이번에는 홀수형 분모의 아래 항을 봅시다.
{(n2−1)(n2−2)⋯(12)}√π
64강에서 Γ(12)=√π 라는 것을 계산했습니다. 이 값은 (−12)! 에 해당됩니다. 위 수식을 아래 등식와 같이 변형할 수 있습니다.
{(n2−1)(n2−2)⋯(12)}√π=Γ(n2)
따라서 홀수형과 짝수형은 하나의 수식으로 합쳐집니다. 아래 수식이 n자유도 카이제곱분포입니다.
fn(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1
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