[손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약

 

 

감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다.

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1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

 

2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

 

3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

 

4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 $x > 0$ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

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감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약하겠습니다. 

 

$x > 0$ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 을 증명하기 위해 아래 부등식을 세웠습니다. 

 

$\int_{1}^{\infty}0dt<\int_{1}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt<\int_{1}^{\infty}e^{-t}t^{K}dt$

 

우변이 수렴함을 보이려면 감마함수가 자연수 영역에서 수렴함을 보여야하는데 4단계에서 이를 증명했습니다. 3번에서 증명한 부등식과 1번에서 증명한 내용을 이용했습니다. 

 

$\int_{M}^{\infty}0dt < \int_{M}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt < \int_{M}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}t}dt$

 

3번의 부등식은 극한의 정의와 2번에서 보인 결과를 이용하여 유도했습니다. 2번은 로피탈 정리를 이용해서 증명했고 1번은 직접 적분을 계산했습니다.