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[손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2

by bigpicture 2021. 9. 18.
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감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 


증명과정 요약

 

1) a>0일 때, 0eatdt 의 수렴 증명

 

2) limttn1e12t=0 증명

 

3) 2번 이용, 0<ettn1<e12t 증명

 

4) 3번 이용, 0ettn1dt (nN) 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 x1 에서 0ettx1dt 수렴 증명

 

6) 실수 0<x<1 에서 0ettx1dt 수렴 증명


 

1) 0eatdt 의 수렴 증명

적분을 바로 합시다. 

 

0eatdt=[eata]0=0(1a)=1a

 

수렴합니다. 


2) limttn1e12t=0 증명

분자와 분모 모두 무한대로 발산하므로 로피탈 정리를 사용할 수 있습니다. 분자는 n번 미분하면 0이 됩니다. 예를들어 t2 은 한번 미분하면 2t, 두번 미분하면 2, 세번 미분하면 0입니다. 반면 분모는 n번 미분하면 (12)ne12t 입니다. 따라서 극한값은 0입니다. 


3) 2번 이용, 0<ettn1<e12t 증명

무한대에서의 함수의 극한

 

limxf(x)=L

 

아래와 같이 정의됩니다. 

임의의 실수 ε>0 에 대하여, x>M 이면 항상 |f(x)L|<ε이 되는 실수 M>0 가 존재한다. 

2번의 극한에 적용하면 아래와 같습니다. 

임의의 실수 ε>0 에 대하여, x>M 이면 항상

|tn1e12t|<ε

이 되는 실수 M>0 가 존재한다. 

임의의 실수 ε 이므로, ε 가 1인 경우에도 위 명제는 성립합니다. 

따라서 t>M 인 경우 아래 부등식이 참이 되는 M이 존재하는 것입니다. 

|tn1e12t|<1

분자와 분모는 항상 양수이므로 절댓값을 벗길 수 있습니다. 절댓값을 벗기고 변형하면 아래와 같습니다. 

0<tn1<e12t

각 항에 et 를 곱해줍니다. 

 

0<ettn1<e12t

 

위 부등식이 성립하는 t>M 인 M이 존재합니다. 


오늘은 전체 증명과정 중 1-3단계를 증명했습니다. 다음시간에 4-6단계를 증명하겠습니다. 

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