감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다.
증명과정 요약
1) a>0일 때, ∫∞0e−atdt 의 수렴 증명
2) limt→∞tn−1e12t=0 증명
3) 2번 이용, 0<e−ttn−1<e−12t 증명
4) 3번 이용, ∫∞0e−ttn−1dt (n∈N) 수렴 증명
5) 4번 이용, 실수 x≥1 에서 ∫∞0e−ttx−1dt 수렴 증명
6) 실수 0<x<1 에서 ∫∞0e−ttx−1dt 수렴 증명
1) ∫∞0e−atdt 의 수렴 증명
적분을 바로 합시다.
∫∞0e−atdt=[e−at−a]∞0=0−(−1a)=1a
수렴합니다.
2) limt→∞tn−1e12t=0 증명
분자와 분모 모두 무한대로 발산하므로 로피탈 정리를 사용할 수 있습니다. 분자는 n번 미분하면 0이 됩니다. 예를들어 t2 은 한번 미분하면 2t, 두번 미분하면 2, 세번 미분하면 0입니다. 반면 분모는 n번 미분하면 (12)ne12t 입니다. 따라서 극한값은 0입니다.
3) 2번 이용, 0<e−ttn−1<e−12t 증명
무한대에서의 함수의 극한
limx→∞f(x)=L
아래와 같이 정의됩니다.
임의의 실수 ε>0 에 대하여, x>M 이면 항상 |f(x)−L|<ε이 되는 실수 M>0 가 존재한다.
2번의 극한에 적용하면 아래와 같습니다.
임의의 실수 ε>0 에 대하여, x>M 이면 항상
|tn−1e12t|<ε
이 되는 실수 M>0 가 존재한다.
임의의 실수 ε 이므로, ε 가 1인 경우에도 위 명제는 성립합니다.
따라서 t>M 인 경우 아래 부등식이 참이 되는 M이 존재하는 것입니다.
|tn−1e12t|<1
분자와 분모는 항상 양수이므로 절댓값을 벗길 수 있습니다. 절댓값을 벗기고 변형하면 아래와 같습니다.
0<tn−1<e12t
각 항에 e−t 를 곱해줍니다.
0<e−ttn−1<e−12t
위 부등식이 성립하는 t>M 인 M이 존재합니다.
오늘은 전체 증명과정 중 1-3단계를 증명했습니다. 다음시간에 4-6단계를 증명하겠습니다.
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