[손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2

 

 

감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 

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증명과정 요약

 

1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

 

2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

 

3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

 

4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

 

6) 실수 $0 < x < 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

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1) $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

적분을 바로 합시다. 

 

$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=\left [ \frac{e^{-at}}{-a} \right ]^{\infty}_{0}=0-\left ( -\frac{1}{a} \right )=\frac{1}{a}$

 

수렴합니다. 

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2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

분자와 분모 모두 무한대로 발산하므로 로피탈 정리를 사용할 수 있습니다. 분자는 n번 미분하면 0이 됩니다. 예를들어 $t^{2}$ 은 한번 미분하면 2t, 두번 미분하면 2, 세번 미분하면 0입니다. 반면 분모는 n번 미분하면 $\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}e^{\frac{1}{2}t} $ 입니다. 따라서 극한값은 0입니다. 

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3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

무한대에서의 함수의 극한

 

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L$

 

아래와 같이 정의됩니다. 

임의의 실수 $\varepsilon>0$ 에 대하여, $x>M$ 이면 항상 $\left | f(x)-L \right |<\varepsilon$이 되는 실수 $M>0$ 가 존재한다. 

2번의 극한에 적용하면 아래와 같습니다. 

임의의 실수 $\varepsilon>0$ 에 대하여, $x>M$ 이면 항상

$\left | \frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}} \right |<\varepsilon$

이 되는 실수 $M>0$ 가 존재한다. 

임의의 실수 $\varepsilon$ 이므로, $\varepsilon$ 가 1인 경우에도 위 명제는 성립합니다. 

따라서 t>M 인 경우 아래 부등식이 참이 되는 M이 존재하는 것입니다. 

$\left | \frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}} \right |<1$

분자와 분모는 항상 양수이므로 절댓값을 벗길 수 있습니다. 절댓값을 벗기고 변형하면 아래와 같습니다. 

$0<t^{n-1}<e^{\frac{1}{2}t}$

각 항에 $e^{-t}$ 를 곱해줍니다. 

 

$0<e^{-t}t^{n-1}<e^{-\frac{1}{2}t}$

 

위 부등식이 성립하는 $t>M$ 인 M이 존재합니다. 

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오늘은 전체 증명과정 중 1-3단계를 증명했습니다. 다음시간에 4-6단계를 증명하겠습니다.