[손으로 푸는 통계 ver1.0] 65. 표본분산의 분포 유도 (30) 감마함수 수렴성 증명 #1

우리가 유도한 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. 

 

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

 

z는 0과 음의정수를 제외한 복소수 영역에서 수렴하는데요. 본 강의에서는 0보다 큰 실수 영역에서만 감마함수를 사용할 것이기 때문에 해당 영역에서만 수렴성을 보이겠습니다. 

 

증명하는 절차가 복잡하기 때문에 먼저 전체요약을 먼저 하고 각 단계를 상세히 설명하겠습니다.

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증명과정 요약

 

1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명

 

2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명

 

3) 2번 이용, $0 \leq e^{-t}t^{n-1} \leq e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명

 

4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명

 

5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

 

6) 실수 $0 < x < 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명

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1-3단계는 증명에 필요한 재료들이구요. 4번에서 자연수 영역에서의 감마함수의 수렴성을 증명합니다. 5번에서는 이를 이용하여 x가 1보다 같거나 큰 실수에서의 감마함수 수렴성을 증명합니다. 마지막 6단계에서는 0<x<1 에서의 감마함수의 수렴성을 증명합니다. 

 

5,6단계를 통해 0<x 에서의 감마함수 수렴성이 증명되는 것입니다. 상세한 설명은 다음시간부터 하겠습니다. 다음 시간에는 1-3단계, 그 다음시간에는 4-6단계를 증명하겠습니다.