[손으로 푸는 통계 ver1.0] 63. 표본분산의 분포 유도 (28) 감마함수 적분형의 재귀적 성질

 

 

우리는 감마함수 무한곱형과 감마함수 적분형을 둘 다 유도했습니다. 아래와 같습니다. 

 

$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

 

두 함수는 완전히 동일하다고 합니다. 감마함수 적분형을 이용하여 무한곱형을 유도할 수 있고, 반대도 가능합니다. 이를 동치관계라고 하는데, 동치관계인 것을 보이지는 않겠습니다. 어렵고 길 것 같아 패스합니다. 

 

감마함수 무한곱형에서 제귀적 성질이 성립한다는 것도 보였습니다. 

 

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

 

이 성질이 적분형에서도 성립하는지 알아봅시다. 

 

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

 

감마함수 적분형에 부분적분을 적용합니다. 

 

$\Gamma (z)=\left [ t^{z-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(z-1)t^{z-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변의 첫항을 봅시다. 무한대를 넣었을 때의 값을 알아야 합니다. 아래 문제를 푸는 것과 같습니다. 

 

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{z-1}}{-e^{t}}$

 

마이너스를 밖으로 꺼냅시다. 

 

$-\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{z-1}}{e^{t}}$

 

z-1 보다 큰 자연수 n을 하나 잡겠습니다. 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$0\leq \frac{t^{z-1}}{e^{t}}\leq \frac{t^{n}}{e^{t}}$

더 정확히는 t가 1보다 같거나 큰 범위에서 성립하는데, t를 무한대로 보내는 상황이라 범위를 굳이 쓰지는 않았습니다. 

 

이제 로피탈 정리를 적용할겁니다. 예를들어 $x^{2}$ 이 있을 때, 한번 미분하면 2x, 두번 미분하면 2, 세번 미분하면 0입니다. 따라서 $x^{n}$ 은 n+1번 미분하면 0이 됩니다. 아래 극한값을 봅시다. 

 

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n}}{e^{t}}$

 

분모와 분자를 n+1번 미분하면 분자는 0이고, 분모는 부호만 바뀌고 값은 그대로 입니다. 따라서 극한값이 0이 됩니다. 

 

샌드위치 정리에 의해 아래 극한값도 0입니다. 

 

$-\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{z-1}}{e^{t}}$

 

우리가 구하던 식을 다시 봅시다. 

 

$\Gamma (z)=\left [ t^{z-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(z-1)t^{z-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변 첫항에 무한대를 넣으면 0, 0을 넣어도 0이므로, 값이 0이 됩니다. 

 

$\Gamma (z)= -\int_{0}^{\infty}(z-1)t^{z-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\Gamma (z)= (z-1)\int_{0}^{\infty}t^{z-2}e^{-t}dt$

 

우변의 적분항은 $\Gamma (z-1)$ 입니다. 

 

$\Gamma (z)= (z-1)\Gamma (z-1)$

 

감마함수 적분형에서도 재귀적 성질이 성립한다는 것을 보였습니다.