[손으로 푸는 통계 ver1.0] 59. 표본분산의 분포 유도 (24) 왈리스 공식 유도3 (Wallis product)

 

 

 

지난 시간까지 유도한 재료들은 아래와 같습니다. 

 

$I(n)= 
\frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$

 

$\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= 
\frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$

 

$I(0)=
\int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx
=\int_{0}^{\pi}1dx
=x  \vert_0^\pi
=\pi$

 

$I(1)=
\int_{0}^{\pi}\sin x \ dx
=-\cos x  \vert_0^\pi
=2$

 

$I(2n)=
\pi
\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \quad ......(3)$

 

$I(2n+1)=2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} \quad ......(4)$

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계속해서 왈리스공식을 유도해봅시다.

 

부등식을 하나 세워볼 건데요. 사인함수는 아래 범위사이의 값을 갖습니다. 

 

$-1 \leq  \sin x \leq 1$

 

x가 0에서 $\pi$ 사이라면 아래 범위 사이 값을 갖습니다. 

 

$0 \leq  \sin x \leq 1$

 

따라서 x가 0에서 $\pi$ 일 때, 사인함수의 거듭제곱들 사이에는 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$\sin^{2n+1}x \leq \sin^{2n}x \leq \sin^{2n-1}x $

 

이유는 간단합니다. 사인함수는 0이상 1이하의 값을 갖기 때문에, 0과 1값은 거듭제곱을 아무리 많이 해도 값이 변하지 않고, 0과 1사이 값에서는 거듭제곱을 많이 할 수록 값이 작아지기 때문입니다. 

 

아래 부등식도 성립합니다. 0부터 $\pi$까지의 넓이임을 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 

 

$I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)$

 

각 항을 $I(2n+1)$로 나눠줍시다. 

 

$1\leq \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \leq \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}$

 

식(2) 에 의해서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$1\leq \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \leq \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$

 

따라서 아래 부등식을 얻을 수 있습니다. 

 

$1\leq \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \leq \frac{2n+1}{2n}$

 

n을 무한대로 보내면 샌드위치 정리(또는 스퀴즈 정리)에 의해 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{I(2n)}{I(2n+1)} =1$

 

3번과 4번식을 이용하여 좌변을 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}
=\frac{\pi}{2}\lim_{n \rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}\left ( \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k} \right )
 =1$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\frac{\pi}{2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}\left ( \frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1} \right )$

 

극한 기호를 아래와 같이 변형합시다. 왈리스 공식이 유도되었습니다. 

 

$\frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1} \right )$

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우리가 유도한 왈리스공식은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )=
\left ( \frac{2}{1} \cdot  \frac{2}{3}\right )
\left ( \frac{4}{3} \cdot  \frac{4}{5}\right )
\left ( \frac{6}{5} \cdot  \frac{6}{7}\right )
\left ( \frac{8}{7} \cdot  \frac{8}{9}\right )
\cdots $