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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 59. 표본분산의 분포 유도 (24) 왈리스 공식 유도3 (Wallis product)

by bigpicture 2021. 6. 19.
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지난 시간까지 유도한 재료들은 아래와 같습니다. 

 

I(n)=n1nI(n2)......(1)

 

I(2n1)I(2n+1)=2n+12n......(2)

 

I(0)=π0sin0x dx=π01dx=x|π0=π

 

I(1)=π0sinx dx=cosx|π0=2

 

I(2n)=πnk=12k12k......(3)

 

I(2n+1)=2nk=12k2k+1......(4)


계속해서 왈리스공식을 유도해봅시다.

 

부등식을 하나 세워볼 건데요. 사인함수는 아래 범위사이의 값을 갖습니다. 

 

1sinx1

 

x가 0에서 π 사이라면 아래 범위 사이 값을 갖습니다. 

 

0sinx1

 

따라서 x가 0에서 π 일 때, 사인함수의 거듭제곱들 사이에는 아래 부등식이 성립합니다. 

 

sin2n+1xsin2nxsin2n1x

 

이유는 간단합니다. 사인함수는 0이상 1이하의 값을 갖기 때문에, 0과 1값은 거듭제곱을 아무리 많이 해도 값이 변하지 않고, 0과 1사이 값에서는 거듭제곱을 많이 할 수록 값이 작아지기 때문입니다. 

 

아래 부등식도 성립합니다. 0부터 π까지의 넓이임을 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 

 

I(2n+1)I(2n)I(2n1)

 

각 항을 I(2n+1)로 나눠줍시다. 

 

1I(2n)I(2n+1)I(2n1)I(2n+1)

 

식(2) 에 의해서 아래 등식이 성립합니다. 

 

1I(2n)I(2n+1)I(2n1)I(2n+1)=2n+12n

 

따라서 아래 부등식을 얻을 수 있습니다. 

 

1I(2n)I(2n+1)2n+12n

 

n을 무한대로 보내면 샌드위치 정리(또는 스퀴즈 정리)에 의해 아래 등식이 성립합니다. 

 

limnI(2n)I(2n+1)=1

 

3번과 4번식을 이용하여 좌변을 변형하면 아래와 같습니다. 

 

limnI(2n)I(2n+1)=π2limnnk=1(2k12k2k+12k)=1

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

π2=limnnk=1(2k2k12k2k+1)

 

극한 기호를 아래와 같이 변형합시다. 왈리스 공식이 유도되었습니다. 

 

π2=k=1(2k2k12k2k+1)


우리가 유도한 왈리스공식은 아래와 같습니다. 

 

π2=n=14n24n21=n=1(2n2n12n2n+1)=(2123)(4345)(6567)(8789)

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