지난 시간까지 유도한 재료들은 아래와 같습니다.
I(n)=n−1nI(n−2)......(1)
I(2n−1)I(2n+1)=2n+12n......(2)
I(0)=∫π0sin0x dx=∫π01dx=x|π0=π
I(1)=∫π0sinx dx=−cosx|π0=2
I(2n)=π∏nk=12k−12k......(3)
I(2n+1)=2∏nk=12k2k+1......(4)
계속해서 왈리스공식을 유도해봅시다.
부등식을 하나 세워볼 건데요. 사인함수는 아래 범위사이의 값을 갖습니다.
−1≤sinx≤1
x가 0에서 π 사이라면 아래 범위 사이 값을 갖습니다.
0≤sinx≤1
따라서 x가 0에서 π 일 때, 사인함수의 거듭제곱들 사이에는 아래 부등식이 성립합니다.
sin2n+1x≤sin2nx≤sin2n−1x
이유는 간단합니다. 사인함수는 0이상 1이하의 값을 갖기 때문에, 0과 1값은 거듭제곱을 아무리 많이 해도 값이 변하지 않고, 0과 1사이 값에서는 거듭제곱을 많이 할 수록 값이 작아지기 때문입니다.
아래 부등식도 성립합니다. 0부터 π까지의 넓이임을 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다.
I(2n+1)≤I(2n)≤I(2n−1)
각 항을 I(2n+1)로 나눠줍시다.
1≤I(2n)I(2n+1)≤I(2n−1)I(2n+1)
식(2) 에 의해서 아래 등식이 성립합니다.
1≤I(2n)I(2n+1)≤I(2n−1)I(2n+1)=2n+12n
따라서 아래 부등식을 얻을 수 있습니다.
1≤I(2n)I(2n+1)≤2n+12n
n을 무한대로 보내면 샌드위치 정리(또는 스퀴즈 정리)에 의해 아래 등식이 성립합니다.
limn→∞I(2n)I(2n+1)=1
3번과 4번식을 이용하여 좌변을 변형하면 아래와 같습니다.
limn→∞I(2n)I(2n+1)=π2limn→∞∏nk=1(2k−12k⋅2k+12k)=1
아래와 같이 변형할 수 있습니다.
π2=limn→∞∏nk=1(2k2k−1⋅2k2k+1)
극한 기호를 아래와 같이 변형합시다. 왈리스 공식이 유도되었습니다.
π2=∏∞k=1(2k2k−1⋅2k2k+1)
우리가 유도한 왈리스공식은 아래와 같습니다.
π2=∏∞n=14n24n2−1=∏∞n=1(2n2n−1⋅2n2n+1)=(21⋅23)(43⋅45)(65⋅67)(87⋅89)⋯
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