[손으로 푸는 통계 ver1.0] 61. 표본분산의 분포 유도 (26) 팩토리얼과 적분의 연결

 

 

우리는 지난시간에 이분의일 팩토리얼이 루트 파이임을 증명했습니다. 

 

$\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

오일러는 이 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$

 

이 적분은 당시에 이미 알려져 있는 수식이었습니다. 왈리스, 뉴튼, 스털링이 이미 이 적분의 특수형을 다뤘었다고 합니다. 

 

위 적분을 변형해서 팩토리얼이 포함된 식으로 바꿔보겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left [ \frac{1}{e+1}x^{e+1}(1-x)^{n}  \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+1}x^{e+1}n(1-x)^{n-1}(-1)dx$

 

첫 항을 계산하면 0입니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+1}x^{e+1}n(1-x)^{n-1}(-1)dx$

 

우변을 아래와 같이 정리해줍시다.

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\int_{0}^{1}x^{e+1}(1-x)^{n-1}dx$

 

부분적분을 한번 더 적용합시다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\left \{  \left [ \frac{1}{e+2}x^{e+2}(1-x)^{n-1}  \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+2}x^{e+2}(n-1)(1-x)^{n-2}(-1)dx  \right \}$

 

첫 항을 계산하면 0입니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\left \{  -\int_{0}^{1} \frac{1}{e+2}x^{e+2}(n-1)(1-x)^{n-2}(-1)dx  \right \}$

 

우변을 아래와 같이 정리해줍시다.

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)}{(e+1)(e+2)}\left \{  \int_{0}^{1}x^{e+2}(1-x)^{n-2}dx  \right \}$

 

규칙이 보이시죠? 부분적분을 반복하면 아래 수식을 얻을 수 있습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 3}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n-2)}\left \{  \int_{0}^{1}x^{e+n-2}(x-1)^{2}dx  \right \}$

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 2}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n-1)}\left \{  \int_{0}^{1}x^{e+n-1}(x-1)dx  \right \}$

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)}\left \{  \int_{0}^{1}x^{e+n}dx  \right \}$

 

적분항을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)} \left [ \frac{1}{e+n+1}x^{e+n+1} \right ]^{1}_{0}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$

 

우변의 분자는 $n!$ 입니다.

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$

 

팩토리얼과 적분을 연결한 식이 유도되었습니다. 오일러는 이 식을 변형하여 감마함수의 적분형을 유도합니다. 다음 시간에 이어가겠습니다.