[손으로 푸는 통계 ver1.0] 57. 표본분산의 분포 유도 (22) 왈리스 공식 유도1 (Wallis product)

 

 

$\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 와 같음을 유도할 때 사용될 왈리스 공식은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )=
\left ( \frac{2}{1} \cdot  \frac{2}{3}\right )
\left ( \frac{4}{3} \cdot  \frac{4}{5}\right )
\left ( \frac{6}{5} \cdot  \frac{6}{7}\right )
\left ( \frac{8}{7} \cdot  \frac{8}{9}\right )
\cdots $

왈리스 공식에서 분모는 홀수들로만 이루어진 곱이고, 분자는 짝수들로만 이루어진 곱입니다. 이러한 무한곱의 결과에서 파이가 등장하는 것입니다. 

 

왈리스공식을 유도한 사람은 왈리스입니다. 왈리스는 영국의 수학자구요. 왈리스가 왈리스공식을 발표한 연도는 1656년입니다. 

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왈리스 공식을 유도해봅시다. 왈리스공식은 사인함수 거듭제곱의 적분을 가지고 놀다가 발견된 공식입니다. 사인함수 거듭제곱의 적분은 아래와 같습니다. 

 

$\int_{0}^{\pi} \sin^{n}x \ dx$

 

위 수식은 n에 대한 함수입니다. 이 함수를 $I(n)$이라고 놓겠습니다. 

 

$I(n)=\int_{0}^{\pi} \sin^{n}x \ dx$

 

적분 안에 있는 식을 아래와 같이 둘로 분리합시다. 

 

$I(n)=\int_{0}^{\pi} \sin^{n-1}x \ \sin x \ dx$

 

부분적분법을 적용합니다. 

 

$I(n)=
\left.
 -\sin^{n-1}x \ \cos x \
\right
 \vert_0^\pi-\int_{0}^{\pi}(-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx$

 

우변의 첫 항은 계산하면 0이 됩니다. 

 

$I(n)=-\int_{0}^{\pi}(-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x dx$

 

적분과 상관없는 항을 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$I(n)= -(n-1)\int_{0}^{\pi}(-\cos x) \sin^{n-2}x \cos x dx$

 

아래와 같이 마이너스를 계산해서 없애줍니다. 

 

$I(n)= (n-1)\int_{0}^{\pi}(\cos x) \sin^{n-2}x \cos x dx$

 

코사인끼리 계산합니다. 

 

$I(n)= (n-1)\int_{0}^{\pi}(\cos^{2} x) \sin^{n-2}x \ dx$

 

코사인 제곱을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$I(n)= (n-1)\int_{0}^{\pi}(1-\sin^{2} x) \sin^{n-2}x \ dx$

 

적분기호 안의 수식을 아래와 같이 전개합니다. 

 

$I(n)= (n-1)\int_{0}^{\pi}
\sin^{n-2}x 
-\sin^{n} x
\ dx$

 

아래와 같이 둘로 나눠줍니다. 

 

$I(n)= (n-1)
\int_{0}^{\pi} \sin^{n-2}x \ dx-
(n-1)\int_{0}^{\pi} \sin^{n} x \ dx$

 

아래와 같이 $I$함수로 표현할 수 있습니다. 

 

$I(n)= 
(n-1)I(n-2)-
(n-1)I(n)$

 

간단히 하면 아래와 같습니다. 1번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$I(n)= 
\frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{I(n)}{I(n-2)}= 
\frac{n-1}{n}$

 

양변의 역수를 취합니다. 

 

$\frac{I(n-2)}{I(n)}= 
\frac{n}{n-1}$

 

$n$자리에 $2n+1$을 대입합니다. 

 

$\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= 
\frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$

 

위 식을 2번식이라고 놓겠습니다. 

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유도하는데 사용될 기본적인 함수값을 계산합시다. 

 

$I(0)=
\int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx
=\int_{0}^{\pi}1dx
=x  \vert_0^\pi
=\pi$

 

$I(1)=
\int_{0}^{\pi}\sin x \ dx
=-\cos x  \vert_0^\pi
=2$

 

다음글에서 나머지 부분을 유도하겠습니다.