[손으로 푸는 통계 ver1.0] 53. 표본분산의 분포 유도 (18) 감마함수 무한곱형의 정의역

 

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우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다.

 

$$\Gamma (x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}$$

 

오늘은 감마함수의 정의역을 알아봅시다. x에 0을 넣어봅시다. 

 

$\Gamma (0)=\frac{1}{0}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{0}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{0}$

 

1/0이므로 정의되지 않습니다. 

 

x에 -1을 넣어봅시다. 

 

$\Gamma (-1)=\frac{1}{-1}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{-1}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{-1}$

 

m에 1이 올 경우 분모가 0이 되어 값이 정의되지 않습니다. 

 

이번에는 x에 -2를 넣어봅시다. 

 

$\Gamma (-2)=\frac{1}{-2}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{-2}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{-2}$

 

m에 2가 올 경우 분모가 0이 되어 값이 정의되지 않습니다. 같은 이유로 x가 음의 정수가 될 경우 분모가 0이 되는 상황이 발생해 값이 정의되지 않습니다. 

 

따라서 감마함수의 정의역은 0과 음의 정수를 제외한 실수 입니다. 그렇다면 감마함수는 복소수에서는 정의되지 않는걸까요? 결론만 말씀드리면 정의됩니다. 임의의 복수수를 넣어도 값을 구할 수 있습니다. 복소수로의 확장에 대해서 자세히 다루지는 않겠습니다. 따라서 감마함수의 정의역은 아래와 같습니다. 

 

"0과 음의 정수를 제외한 복소수"

 

감마함수에서는 변수로 z를 주로 사용합니다. 

 

$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$

 

 

영상에서 정의역을 R(z)>0 라고 말씀드렸는데, 실수입니다. R(z)>0 은 감마함수 적분형이 완전수렴하는 영역이지 정의역은 아닙니다. R(z)>0 영역은 값이 존재하는 음수영역을 포함하지 않습니다. 감마함수의 정의역에는 R(z)>0 인 영역 뿐 아니라, 음수에서 값이 존재하는 영역도 포함됩니다.